Rezolvați 2/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=0$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 2x cu x pentru a obține 3x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Adunați -2 și 1 pentru a obține -1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Să luăm \left(x-1\right)\left(x+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$3x-1-x^{2}+1=0$$

Adunați -1 și 1 pentru a obține 0.

$$3x-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+3x=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu 0 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3^{2}.

$$x=\frac{-3±3}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-3±3}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±3}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 3.

$$x=\frac{0}{-2}$$

Împărțiți 0 la -2.

$$x=0$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±3}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -3.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Împărțiți -6 la -2.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=0 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 2x cu x pentru a obține 3x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Adunați -2 și 1 pentru a obține -1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Să luăm \left(x-1\right)\left(x+1\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 1 la pătrat.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$3x-x^{2}=-1+1$$

Adunați -1 și 1 pentru a obține 0.

$$3x-x^{2}=0$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=0$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{0}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{0}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$x^{2}-3x=\frac{0}{-1}$$

Împărțiți 0 la -1.

$$x^{2}-3x=0$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$$

Factorul x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=0$$