Rezolvați 2/3x^2=1/x-1/3

$$\frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 3 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x^{2}, cel mai mic multiplu comun al 3x^{2},x,3.

$$2=3x+3x^{2}\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Înmulțiți 3 cu -\frac{1}{3} pentru a obține -1.

$$2=3x-x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x-x^{2}=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$3x-x^{2}-2=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+3x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=2 b=1$$

Rescrieți -x^{2}+3x-2 ca \left(-x^{2}+2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(x-2\right)$$

Scoateți factorul comun -x din -x^{2}+2x.

$$-x\left(x-2\right)+x-2$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(-x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și -x+1=0.

$$x=2 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x^{2}, cel mai mic multiplu comun al 3x^{2},x,3.

$$2=3x+3x^{2}\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Înmulțiți 3 cu -\frac{1}{3} pentru a obține -1.

$$2=3x-x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x-x^{2}=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$3x-x^{2}-2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+3x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu -8.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-3±1}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-3±1}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±1}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±1}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x^{2}, cel mai mic multiplu comun al 3x^{2},x,3.

$$2=3x+3x^{2}\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Înmulțiți 3 cu -\frac{1}{3} pentru a obține -1.

$$2=3x-x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3x-x^{2}=2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=2$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$x^{2}-3x=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}-3x=-2$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Adunați -2 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=1$$