Rezolvați 2/3+sqrt{-5}:3

$$\frac { 2 } { 3 + \sqrt { - 5 } } : 3$$

Evaluați (complex solution)

$$-\frac{\sqrt{5}i}{21}+\frac{1}{7}\approx 0,142857143-0,106479427i$$

Pașii soluției

Exprimați \frac{\frac{2}{3+\sqrt{-5}}}{3} ca fracție unică.

$$\frac{2}{\left(3+\sqrt{-5}\right)\times 3}$$

Descompuneți în factori -5=5\left(-1\right). Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{5\left(-1\right)} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{5}\sqrt{-1}. Prin definiție, rădăcina pătrată a -1 este i.

$$\frac{2}{\left(3+\sqrt{5}i\right)\times 3}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3+\sqrt{5}i cu 3.

$$\frac{2}{9+3\sqrt{5}i}$$

Înmulțiți 3 cu i pentru a obține 3i.

$$\frac{2}{9+3i\sqrt{5}}$$

Raționalizați numitor de \frac{2}{9+3i\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 9-3i\sqrt{5}.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{\left(9+3i\sqrt{5}\right)\left(9-3i\sqrt{5}\right)}$$

Să luăm \left(9+3i\sqrt{5}\right)\left(9-3i\sqrt{5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{9^{2}-\left(3i\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Calculați 9 la puterea 2 și obțineți 81.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{81-\left(3i\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Extindeți \left(3i\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{81-\left(3i\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Calculați 3i la puterea 2 și obțineți -9.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{81-\left(-9\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{81-\left(-9\times 5\right)}$$

Înmulțiți -9 cu 5 pentru a obține -45.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{81-\left(-45\right)}$$

Înmulțiți -1 cu -45 pentru a obține 45.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{81+45}$$

Adunați 81 și 45 pentru a obține 126.

$$\frac{2\left(9-3i\sqrt{5}\right)}{126}$$

Împărțiți 2\left(9-3i\sqrt{5}\right) la 126 pentru a obține \frac{1}{63}\left(9-3i\sqrt{5}\right).

$$\frac{1}{63}\left(9-3i\sqrt{5}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \frac{1}{63} cu 9-3i\sqrt{5}.

$$\frac{1}{63}\times 9+\frac{1}{63}\times \left(-3i\right)\sqrt{5}$$

Înmulțiți \frac{1}{63} cu 9 pentru a obține \frac{9}{63}.

$$\frac{9}{63}+\frac{1}{63}\times \left(-3i\right)\sqrt{5}$$

Reduceți fracția \frac{9}{63} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 9.

$$\frac{1}{7}+\frac{1}{63}\times \left(-3i\right)\sqrt{5}$$

Înmulțiți \frac{1}{63} cu -3i pentru a obține -\frac{1}{21}i.

$$\frac{1}{7}-\frac{1}{21}i\sqrt{5}$$

Evaluați

$$\text{Indeterminate}$$

Pașii soluției

Exprimați \frac{\frac{2}{3+\sqrt{-5}}}{3} ca fracție unică.

$$\frac{2}{\left(3+\sqrt{-5}\right)\times 3}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3+\sqrt{-5} cu 3.

$$\frac{2}{9+3\sqrt{-5}}$$

Raționalizați numitor de \frac{2}{9+3\sqrt{-5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 9-3\sqrt{-5}.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{\left(9+3\sqrt{-5}\right)\left(9-3\sqrt{-5}\right)}$$

Să luăm \left(9+3\sqrt{-5}\right)\left(9-3\sqrt{-5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{9^{2}-\left(3\sqrt{-5}\right)^{2}}$$

Calculați 9 la puterea 2 și obțineți 81.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{81-\left(3\sqrt{-5}\right)^{2}}$$

Extindeți \left(3\sqrt{-5}\right)^{2}.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{81-3^{2}\left(\sqrt{-5}\right)^{2}}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{81-9\left(\sqrt{-5}\right)^{2}}$$

Calculați \sqrt{-5} la puterea 2 și obțineți -5.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{81-9\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 9 cu -5 pentru a obține -45.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{81-\left(-45\right)}$$

Înmulțiți -1 cu -45 pentru a obține 45.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{81+45}$$

Adunați 81 și 45 pentru a obține 126.

$$\frac{2\left(9-3\sqrt{-5}\right)}{126}$$

Împărțiți 2\left(9-3\sqrt{-5}\right) la 126 pentru a obține \frac{1}{63}\left(9-3\sqrt{-5}\right).

$$\frac{1}{63}\left(9-3\sqrt{-5}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \frac{1}{63} cu 9-3\sqrt{-5}.

$$\frac{1}{63}\times 9+\frac{1}{63}\left(-3\right)\sqrt{-5}$$

Înmulțiți \frac{1}{63} cu 9 pentru a obține \frac{9}{63}.

$$\frac{9}{63}+\frac{1}{63}\left(-3\right)\sqrt{-5}$$

Reduceți fracția \frac{9}{63} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 9.

$$\frac{1}{7}+\frac{1}{63}\left(-3\right)\sqrt{-5}$$

Înmulțiți \frac{1}{63} cu -3 pentru a obține \frac{-3}{63}.

$$\frac{1}{7}+\frac{-3}{63}\sqrt{-5}$$

Reduceți fracția \frac{-3}{63} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$\frac{1}{7}-\frac{1}{21}\sqrt{-5}$$

Parte reală (complex solution)

$$\frac{1}{7} = 0,14285714285714285$$