Rezolvați frac{2sqrt{x}+1}{3}=x

$$\frac { 2 \sqrt { x } + 1 } { 3 } = x$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

Pașii soluției

Împărțiți fiecare termen din 2\sqrt{x}+1 la 3 pentru a obține \frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{3}.

$$\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{3}=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{3}-x=0$$

Scădeți \frac{1}{3} din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$\frac{2}{3}\sqrt{x}-x=-\frac{1}{3}$$

Scădeți -x din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{2}{3}\sqrt{x}=-\frac{1}{3}+x$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\frac{2}{3}\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-\frac{1}{3}+x\right)^{2}$$

Extindeți \left(\frac{2}{3}\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-\frac{1}{3}+x\right)^{2}$$

Calculați \frac{2}{3} la puterea 2 și obțineți \frac{4}{9}.

$$\frac{4}{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-\frac{1}{3}+x\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x} la puterea 2 și obțineți x.

$$\frac{4}{9}x=\left(-\frac{1}{3}+x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(-\frac{1}{3}+x\right)^{2}.

$$\frac{4}{9}x=\frac{1}{9}-\frac{2}{3}x+x^{2}$$

Adăugați \frac{2}{3}x la ambele părți.

$$\frac{4}{9}x+\frac{2}{3}x=\frac{1}{9}+x^{2}$$

Combinați \frac{4}{9}x cu \frac{2}{3}x pentru a obține \frac{10}{9}x.

$$\frac{10}{9}x=\frac{1}{9}+x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$\frac{10}{9}x-x^{2}=\frac{1}{9}$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+\frac{10}{9}x=\frac{1}{9}$$

Scădeți \frac{1}{9} din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+\frac{10}{9}x-\frac{1}{9}=\frac{1}{9}-\frac{1}{9}$$

Scăderea \frac{1}{9} din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+\frac{10}{9}x-\frac{1}{9}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu \frac{10}{9} și c cu -\frac{1}{9} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{10}{9}±\sqrt{\left(\frac{10}{9}\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-\frac{1}{9}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați \frac{10}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x=\frac{-\frac{10}{9}±\sqrt{\frac{100}{81}-4\left(-1\right)\left(-\frac{1}{9}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\frac{10}{9}±\sqrt{\frac{100}{81}+4\left(-\frac{1}{9}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -\frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\frac{10}{9}±\sqrt{\frac{100}{81}-\frac{4}{9}}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați \frac{100}{81} cu -\frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{-\frac{10}{9}±\sqrt{\frac{64}{81}}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru \frac{64}{81}.

$$x=\frac{-\frac{10}{9}±\frac{8}{9}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-\frac{10}{9}±\frac{8}{9}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{10}{9}±\frac{8}{9}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -\frac{10}{9} cu \frac{8}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{\frac{2}{9}}{-2}$$

Împărțiți -\frac{2}{9} la -2.

$$x=\frac{1}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{10}{9}±\frac{8}{9}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{8}{9} din -\frac{10}{9} găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{9} x=1$$

Înlocuiți x cu \frac{1}{9} în ecuația \frac{2\sqrt{x}+1}{3}=x.

$$\frac{2\sqrt{\frac{1}{9}}+1}{3}=\frac{1}{9}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{1}{9} nu respectă ecuația.

$$\frac{5}{9}=\frac{1}{9}$$

Înlocuiți x cu 1 în ecuația \frac{2\sqrt{x}+1}{3}=x.

$$\frac{2\sqrt{1}+1}{3}=1$$

Simplificați. Valoarea x=1 corespunde ecuației.

$$1=1$$

Ecuația \frac{2\sqrt{x}}{3}=x-\frac{1}{3} are o soluție unică.

$$x=1$$