Rezolvați frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Evaluați

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Să luăm \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Ridicați 2 la pătrat. Ridicați \sqrt{5} la pătrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Scădeți 5 din 4 pentru a obține -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Înmulțiți 2+\sqrt{5} cu 2+\sqrt{5} pentru a obține \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Adunați 4 și 5 pentru a obține 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Orice număr împărțit la -1 dă opusul său. Pentru a găsi opusul lui 9+4\sqrt{5}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-9-4\sqrt{5}$$