Rezolvați frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Rezolvați pentru b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Pași pentru rezolvarea ecuației liniare

Raționalizați numitor de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Să luăm \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Ridicați 2 la pătrat. Ridicați \sqrt{3} la pătrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Scădeți 3 din 4 pentru a obține 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Orice lucru împărțit la unu este egal cu sine însuși.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Înmulțiți 2+\sqrt{3} cu 2+\sqrt{3} pentru a obține \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Adunați 4 și 3 pentru a obține 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Scădeți a din ambele părți.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Ecuația este în forma standard.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Se împart ambele părți la \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Împărțirea la \sqrt{3} anulează înmulțirea cu \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Împărțiți 4\sqrt{3}-a+7 la \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Rezolvați pentru a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$