Rezolvați 168/x-168/x+14=1

$$\frac { 168 } { x } - \frac { 168 } { x + 14 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -14,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+14\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+14 cu 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Scădeți 14x din ambele părți.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combinați 168x cu -14x pentru a obține 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 168 pentru a obține -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Combinați 154x cu -168x pentru a obține -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+2352. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-14 ab=-2352=-2352$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -2352 de produs.

$$1,-2352 2,-1176 3,-784 4,-588 6,-392 7,-336 8,-294 12,-196 14,-168 16,-147 21,-112 24,-98 28,-84 42,-56 48,-49$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-2352=-2351 2-1176=-1174 3-784=-781 4-588=-584 6-392=-386 7-336=-329 8-294=-286 12-196=-184 14-168=-154 16-147=-131 21-112=-91 24-98=-74 28-84=-56 42-56=-14 48-49=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=42 b=-56$$

Rescrieți -x^{2}-14x+2352 ca \left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right).

$$\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 56 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(-x+42\right)+56\left(-x+42\right)$$

Scoateți termenul comun -x+42 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+42\right)\left(x+56\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați -x+42=0 și x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -14,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+14\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+14 cu 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Scădeți 14x din ambele părți.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combinați 168x cu -14x pentru a obține 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 168 pentru a obține -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Combinați 154x cu -168x pentru a obține -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -14 și c cu 2352 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 2352.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+9408}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 196 cu 9408.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{9604}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9604.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±98}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±98}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{14±98}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±98}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 98.

$$x=\frac{112}{-2}$$

Împărțiți 112 la -2.

$$x=-56$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±98}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 98 din 14.

$$x=-\frac{84}{-2}$$

Împărțiți -84 la -2.

$$x=42$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-56 x=42$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -14,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+14\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+14 cu 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Scădeți 14x din ambele părți.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combinați 168x cu -14x pentru a obține 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Scădeți 2352 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$154x-x\times 168-x^{2}=-2352$$

Înmulțiți -1 cu 168 pentru a obține -168.

$$154x-168x-x^{2}=-2352$$

Combinați 154x cu -168x pentru a obține -14x.

$$-14x-x^{2}=-2352$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-14x=-2352$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=-\frac{2352}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=-\frac{2352}{-1}$$

Împărțiți -14 la -1.

$$x^{2}+14x=-\frac{2352}{-1}$$

Împărțiți -2352 la -1.

$$x^{2}+14x=2352$$

Împărțiți 14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 7. Apoi, adunați pătratul lui 7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Adunați 2352 cu 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Factorul x^{2}+14x+49. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Simplificați.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$x=42 x=-56$$