Rezolvați 16/x^2-9+4/x^2-5x+6-5(x+2)/6-x-x^2=0

$$\frac { 16 } { x ^ { 2 } - 9 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } - \frac { 5 ( x + 2 ) } { 6 - x - x ^ { 2 } } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-9,x^{2}-5x+6,6-x-x^{2}.

$$\left(x-2\right)\times 16+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 16.

$$16x-32+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu 4.

$$16x-32+4x+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Combinați 16x cu 4x pentru a obține 20x.

$$20x-32+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Adunați -32 și 12 pentru a obține -20.

$$20x-20-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3-x cu 5.

$$20x-20-\left(15-5x\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15-5x cu x+2 și a combina termenii similari.

$$20x-20-\left(5x+30-5x^{2}\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 5x+30-5x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$20x-20-5x-30+5x^{2}=0$$

Combinați 20x cu -5x pentru a obține 15x.

$$15x-20-30+5x^{2}=0$$

Scădeți 30 din -20 pentru a obține -50.

$$15x-50+5x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 5.

$$3x-10+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-2 b=5$$

Rescrieți x^{2}+3x-10 ca \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-9,x^{2}-5x+6,6-x-x^{2}.

$$\left(x-2\right)\times 16+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 16.

$$16x-32+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu 4.

$$16x-32+4x+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Combinați 16x cu 4x pentru a obține 20x.

$$20x-32+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Adunați -32 și 12 pentru a obține -20.

$$20x-20-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3-x cu 5.

$$20x-20-\left(15-5x\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15-5x cu x+2 și a combina termenii similari.

$$20x-20-\left(5x+30-5x^{2}\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 5x+30-5x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$20x-20-5x-30+5x^{2}=0$$

Combinați 20x cu -5x pentru a obține 15x.

$$15x-20-30+5x^{2}=0$$

Scădeți 30 din -20 pentru a obține -50.

$$15x-50+5x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+15x-50=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 15 și c cu -50 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 5\left(-50\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 15 la pătrat.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 5\left(-50\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-20\left(-50\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -50.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+1000}}{2\times 5}$$

Adunați 225 cu 1000.

$$x=\frac{-15±\sqrt{1225}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1225.

$$x=\frac{-15±35}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-15±35}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-15±35}{10} atunci când ± este plus. Adunați -15 cu 35.

$$x=\frac{20}{10}$$

Împărțiți 20 la 10.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-15±35}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 35 din -15.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Împărțiți -50 la 10.

$$x=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-9,x^{2}-5x+6,6-x-x^{2}.

$$\left(x-2\right)\times 16+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 16.

$$16x-32+\left(x+3\right)\times 4-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu 4.

$$16x-32+4x+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Combinați 16x cu 4x pentru a obține 20x.

$$20x-32+12-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Adunați -32 și 12 pentru a obține -20.

$$20x-20-\left(3-x\right)\times 5\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3-x cu 5.

$$20x-20-\left(15-5x\right)\left(x+2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15-5x cu x+2 și a combina termenii similari.

$$20x-20-\left(5x+30-5x^{2}\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 5x+30-5x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$20x-20-5x-30+5x^{2}=0$$

Combinați 20x cu -5x pentru a obține 15x.

$$15x-20-30+5x^{2}=0$$

Scădeți 30 din -20 pentru a obține -50.

$$15x-50+5x^{2}=0$$

Adăugați 50 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$15x+5x^{2}=50$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+15x=50$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+15x}{5}=\frac{50}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{15}{5}x=\frac{50}{5}$$

Împărțiți 15 la 5.

$$x^{2}+3x=\frac{50}{5}$$

Împărțiți 50 la 5.

$$x^{2}+3x=10$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Adunați 10 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-5$$