Rezolvați 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -250,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x\left(x+250\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+500 cu 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Înmulțiți 2 cu 1500 pentru a obține 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Scădeți 250x din ambele părți.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combinați 3000x cu -250x pentru a obține 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Combinați 2750x cu -3000x pentru a obține -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+750000. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

Soluția este perechea care dă suma de 250.

$$a=-750 b=1000$$

Rescrieți -x^{2}-250x+750000 ca \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Factor x în primul și 1000 în al doilea grup.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Scoateți termenul comun x-750 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-750=0 și x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -250,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x\left(x+250\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+500 cu 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Înmulțiți 2 cu 1500 pentru a obține 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Scădeți 250x din ambele părți.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combinați 3000x cu -250x pentru a obține 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Combinați 2750x cu -3000x pentru a obține -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -250 și c cu 750000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -250 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 62500 cu 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -250 este 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{250±1750}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 250 cu 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Împărțiți 2000 la -2.

$$x=-1000$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{250±1750}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 1750 din 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Împărțiți -1500 la -2.

$$x=750$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1000 x=750$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -250,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x\left(x+250\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+500 cu 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Înmulțiți 2 cu 1500 pentru a obține 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Scădeți 250x din ambele părți.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combinați 3000x cu -250x pentru a obține 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Scădeți 750000 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Combinați 2750x cu -3000x pentru a obține -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Împărțiți -250 la -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Împărțiți -750000 la -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Împărțiți 250, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 125. Apoi, adunați pătratul lui 125 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Ridicați 125 la pătrat.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Adunați 750000 cu 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Factor x^{2}+250x+15625. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Simplificați.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Scădeți 125 din ambele părți ale ecuației.

$$x=750 x=-1000$$