Rezolvați 15/p+6p-5/p+2=1

$$\frac { 15 } { p } + \frac { 6 p - 5 } { p + 2 } = 1$$

Rezolvați pentru p

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}\approx -0,8+2,315167381i$$

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}\approx -0,8-2,315167381i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila p nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p\left(p+2\right), cel mai mic multiplu comun al p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p+2 cu 15.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p cu 6p-5.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Combinați 15p cu -5p pentru a obține 10p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p cu p+2.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Scădeți p^{2} din ambele părți.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Combinați 6p^{2} cu -p^{2} pentru a obține 5p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Scădeți 2p din ambele părți.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Combinați 10p cu -2p pentru a obține 8p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5p^{2}+8p+30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 8 și c cu 30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 30}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 30.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-600}}{2\times 5}$$

Adunați 64 cu -600.

$$p=\frac{-8±\sqrt{-536}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -536.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 2i\sqrt{134}.

$$p=\frac{-8+2\sqrt{134}i}{10}$$

Împărțiți -8+2i\sqrt{134} la 10.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{134} din -8.

$$p=\frac{-2\sqrt{134}i-8}{10}$$

Împărțiți -8-2i\sqrt{134} la 10.

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila p nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p\left(p+2\right), cel mai mic multiplu comun al p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p+2 cu 15.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p cu 6p-5.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Combinați 15p cu -5p pentru a obține 10p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p cu p+2.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Scădeți p^{2} din ambele părți.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Combinați 6p^{2} cu -p^{2} pentru a obține 5p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Scădeți 2p din ambele părți.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Combinați 10p cu -2p pentru a obține 8p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Scădeți 30 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$8p+5p^{2}=-30$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5p^{2}+8p=-30$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5p^{2}+8p}{5}=-\frac{30}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-\frac{30}{5}$$

Împărțiți -30 la 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-6$$

Împărțiți \frac{8}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-6+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-6+\frac{16}{25}$$

Adunați -6 cu \frac{16}{25}.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-\frac{134}{25}$$

Factor p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{134}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134}{25}}$$

Simplificați.

$$p+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{134}i}{5} p+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{134}i}{5}$$

Scădeți \frac{4}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$