Rezolvați 140/x-1-144/x=2

$$\frac { 140 } { x - 1 } - \frac { 144 } { x } = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=-9$$

$$x=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 144x-144, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Combinați x\times 140 cu -144x pentru a obține -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Combinați -4x cu 2x pentru a obține -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$-x+72-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-x+72=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+72. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=-72=-72$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=8 b=-9$$

Rescrieți -x^{2}-x+72 ca \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right)$$

Factor x în primul și 9 în al doilea grup.

$$x\left(-x+8\right)+9\left(-x+8\right)$$

Scoateți termenul comun -x+8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+8\right)\left(x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+8=0 și x+9=0.

$$x=8 x=-9$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 144x-144, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Combinați x\times 140 cu -144x pentru a obține -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Combinați -4x cu 2x pentru a obține -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}-2x+144=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu -2 și c cu 144 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1152}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 4 cu 1152.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1156}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1156.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±34}{2\left(-2\right)}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±34}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{2±34}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±34}{-4} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 34.

$$x=\frac{36}{-4}$$

Împărțiți 36 la -4.

$$x=-9$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±34}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 34 din 2.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Împărțiți -32 la -4.

$$x=8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-9 x=8$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x.

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 144.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 144x-144, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

Combinați x\times 140 cu -144x pentru a obține -4x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-1.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

Combinați -4x cu 2x pentru a obține -2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Scădeți 144 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-2x-2x^{2}=-144$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-2x=-144$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=-\frac{144}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=-\frac{144}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x^{2}+x=-\frac{144}{-2}$$

Împărțiți -144 la -2.

$$x^{2}+x=72$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=72+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=72+\frac{1}{4}$$

Adunați 72 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{289}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{17}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=8 x=-9$$