Rezolvați 140/x+140/x-4=4

$$\frac { 140 } { x } + \frac { 140 } { x - 4 } = 4$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{1229}+37\approx 72,057096286$$

$$x=37-\sqrt{1229}\approx 1,942903714$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-4\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-4.

$$\left(x-4\right)\times 140+x\times 140=4x\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 140.

$$140x-560+x\times 140=4x\left(x-4\right)$$

Combinați 140x cu x\times 140 pentru a obține 280x.

$$280x-560=4x\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x-4.

$$280x-560=4x^{2}-16x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$280x-560-4x^{2}=-16x$$

Adăugați 16x la ambele părți.

$$280x-560-4x^{2}+16x=0$$

Combinați 280x cu 16x pentru a obține 296x.

$$296x-560-4x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}+296x-560=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 296 și c cu -560 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-296±\sqrt{296^{2}-4\left(-4\right)\left(-560\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 296 la pătrat.

$$x=\frac{-296±\sqrt{87616-4\left(-4\right)\left(-560\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-296±\sqrt{87616+16\left(-560\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu -560.

$$x=\frac{-296±\sqrt{87616-8960}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 87616 cu -8960.

$$x=\frac{-296±\sqrt{78656}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 78656.

$$x=\frac{-296±8\sqrt{1229}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{-296±8\sqrt{1229}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-296±8\sqrt{1229}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -296 cu 8\sqrt{1229}.

$$x=\frac{8\sqrt{1229}-296}{-8}$$

Împărțiți -296+8\sqrt{1229} la -8.

$$x=37-\sqrt{1229}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-296±8\sqrt{1229}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{1229} din -296.

$$x=\frac{-8\sqrt{1229}-296}{-8}$$

Împărțiți -296-8\sqrt{1229} la -8.

$$x=\sqrt{1229}+37$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=37-\sqrt{1229} x=\sqrt{1229}+37$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-4\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-4.

$$\left(x-4\right)\times 140+x\times 140=4x\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 140.

$$140x-560+x\times 140=4x\left(x-4\right)$$

Combinați 140x cu x\times 140 pentru a obține 280x.

$$280x-560=4x\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x-4.

$$280x-560=4x^{2}-16x$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$280x-560-4x^{2}=-16x$$

Adăugați 16x la ambele părți.

$$280x-560-4x^{2}+16x=0$$

Combinați 280x cu 16x pentru a obține 296x.

$$296x-560-4x^{2}=0$$

Adăugați 560 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$296x-4x^{2}=560$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+296x=560$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}+296x}{-4}=\frac{560}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\frac{296}{-4}x=\frac{560}{-4}$$

Împărțiți 296 la -4.

$$x^{2}-74x=\frac{560}{-4}$$

Împărțiți 560 la -4.

$$x^{2}-74x=-140$$

Împărțiți -74, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -37. Apoi, adunați pătratul lui -37 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-74x+\left(-37\right)^{2}=-140+\left(-37\right)^{2}$$

Ridicați -37 la pătrat.

$$x^{2}-74x+1369=-140+1369$$

Adunați -140 cu 1369.

$$x^{2}-74x+1369=1229$$

Factor x^{2}-74x+1369. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-37\right)^{2}=1229$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-37\right)^{2}}=\sqrt{1229}$$

Simplificați.

$$x-37=\sqrt{1229} x-37=-\sqrt{1229}$$

Adunați 37 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{1229}+37 x=37-\sqrt{1229}$$