Rezolvați 13/4x^2-4x-5=0

$$\frac { 13 } { 4 } x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{10}{13}\approx -0,769230769$$

$$x=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{13}{4}, b cu -4 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{13}{4}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-13\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Înmulțiți -13 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+65}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Adunați 16 cu 65.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{81}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{13}{4}.

$$x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 9.

$$x=\frac{13}{\frac{13}{2}}$$

Împărțiți 13 la \frac{13}{2} înmulțind pe 13 cu reciproca lui \frac{13}{2}.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 4.

$$x=-\frac{5}{\frac{13}{2}}$$

Împărțiți -5 la \frac{13}{2} înmulțind pe -5 cu reciproca lui \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{10}{13}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=5$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{13}{4}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$\frac{\frac{13}{4}x^{2}-4x}{\frac{13}{4}}=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Împărțirea la \frac{13}{4} anulează înmulțirea cu \frac{13}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{13}{4}}\right)x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Împărțiți -4 la \frac{13}{4} înmulțind pe -4 cu reciproca lui \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Împărțiți 5 la \frac{13}{4} înmulțind pe 5 cu reciproca lui \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{20}{13}$$

Împărțiți -\frac{16}{13}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{8}{13}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{8}{13} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{8}{13} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{20}{13}+\frac{64}{169}$$

Adunați \frac{20}{13} cu \frac{64}{169} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{324}{169}$$

Factor x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{324}{169}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{324}{169}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{8}{13}=\frac{18}{13} x-\frac{8}{13}=-\frac{18}{13}$$

Adunați \frac{8}{13} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$