Rezolvați 1000/x-1000/x+5=10

$$\frac { 1000 } { x } - \frac { 1000 } { x + 5 } = 10$$

Rezolvați pentru x

$$x=-25$$

$$x=20$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 1000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 1000.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10x cu x+5.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x^{2}+50x$$

Scădeți 10x^{2} din ambele părți.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}=50x$$

Scădeți 50x din ambele părți.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}-50x=0$$

Combinați 1000x cu -50x pentru a obține 950x.

$$950x+5000-x\times 1000-10x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 1000 pentru a obține -1000.

$$950x+5000-1000x-10x^{2}=0$$

Combinați 950x cu -1000x pentru a obține -50x.

$$-50x+5000-10x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 10.

$$-5x+500-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-5x+500=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+500. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=-500=-500$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -500.

$$1,-500 2,-250 4,-125 5,-100 10,-50 20,-25$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-500=-499 2-250=-248 4-125=-121 5-100=-95 10-50=-40 20-25=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=20 b=-25$$

Rescrieți -x^{2}-5x+500 ca \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-25x+500\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-25x+500\right)$$

Factor x în primul și 25 în al doilea grup.

$$x\left(-x+20\right)+25\left(-x+20\right)$$

Scoateți termenul comun -x+20 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+20\right)\left(x+25\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+20=0 și x+25=0.

$$x=20 x=-25$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 1000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 1000.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10x cu x+5.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x^{2}+50x$$

Scădeți 10x^{2} din ambele părți.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}=50x$$

Scădeți 50x din ambele părți.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}-50x=0$$

Combinați 1000x cu -50x pentru a obține 950x.

$$950x+5000-x\times 1000-10x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 1000 pentru a obține -1000.

$$950x+5000-1000x-10x^{2}=0$$

Combinați 950x cu -1000x pentru a obține -50x.

$$-50x+5000-10x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-10x^{2}-50x+5000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -10, b cu -50 și c cu 5000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\left(-10\right)\times 5000}}{2\left(-10\right)}$$

Ridicați -50 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\left(-10\right)\times 5000}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -10.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+40\times 5000}}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 40 cu 5000.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+200000}}{2\left(-10\right)}$$

Adunați 2500 cu 200000.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{202500}}{2\left(-10\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 202500.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±450}{2\left(-10\right)}$$

Opusul lui -50 este 50.

$$x=\frac{50±450}{2\left(-10\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -10.

$$x=\frac{50±450}{-20}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{50±450}{-20} atunci când ± este plus. Adunați 50 cu 450.

$$x=\frac{500}{-20}$$

Împărțiți 500 la -20.

$$x=-25$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{50±450}{-20} atunci când ± este minus. Scădeți 450 din 50.

$$x=-\frac{400}{-20}$$

Împărțiți -400 la -20.

$$x=20$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-25 x=20$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 1000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 1000.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10x cu x+5.

$$1000x+5000-x\times 1000=10x^{2}+50x$$

Scădeți 10x^{2} din ambele părți.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}=50x$$

Scădeți 50x din ambele părți.

$$1000x+5000-x\times 1000-10x^{2}-50x=0$$

Combinați 1000x cu -50x pentru a obține 950x.

$$950x+5000-x\times 1000-10x^{2}=0$$

Scădeți 5000 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$950x-x\times 1000-10x^{2}=-5000$$

Înmulțiți -1 cu 1000 pentru a obține -1000.

$$950x-1000x-10x^{2}=-5000$$

Combinați 950x cu -1000x pentru a obține -50x.

$$-50x-10x^{2}=-5000$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}-50x=-5000$$

Se împart ambele părți la -10.

$$\frac{-10x^{2}-50x}{-10}=-\frac{5000}{-10}$$

Împărțirea la -10 anulează înmulțirea cu -10.

$$x^{2}+\left(-\frac{50}{-10}\right)x=-\frac{5000}{-10}$$

Împărțiți -50 la -10.

$$x^{2}+5x=-\frac{5000}{-10}$$

Împărțiți -5000 la -10.

$$x^{2}+5x=500$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

Adunați 500 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=20 x=-25$$