Rezolvați 10/(x+3)(x-7)-8/(x+3)(x-5)=x+10/(x-5)(x-7)

$$\frac { 10 } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } - \frac { 8 } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) } = \frac { x + 10 } { ( x - 5 ) ( x - 7 ) }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,5,7, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-7 cu 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 8x-56, găsiți opusul fiecărui termen.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Combinați 10x cu -8x pentru a obține 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Adunați -50 și 56 pentru a obține 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x+10 și a combina termenii similari.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Combinați 2x cu -13x pentru a obține -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Scădeți 30 din ambele părți.

$$-11x+6-x^{2}-30=0$$

Scădeți 30 din 6 pentru a obține -24.

$$-11x-24-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-11x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -11 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 121 cu -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±5}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{11±5}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±5}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 5.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Împărțiți 16 la -2.

$$x=-8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±5}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-8 x=-3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -3.

$$x=-8$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,5,7, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-7 cu 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 8x-56, găsiți opusul fiecărui termen.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Combinați 10x cu -8x pentru a obține 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Adunați -50 și 56 pentru a obține 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x+10 și a combina termenii similari.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Combinați 2x cu -13x pentru a obține -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$-11x-x^{2}=30-6$$

Scădeți 6 din 30 pentru a obține 24.

$$-11x-x^{2}=24$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-11x=24$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-11x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{11}{-1}\right)x=\frac{24}{-1}$$

Împărțiți -11 la -1.

$$x^{2}+11x=\frac{24}{-1}$$

Împărțiți 24 la -1.

$$x^{2}+11x=-24$$

Împărțiți 11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Adunați -24 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}+11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Scădeți \frac{11}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-3 x=-8$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -3.

$$x=-8$$