Rezolvați 1-2x/x+7=x/x-1

$$\frac { 1 - 2 x } { x + 7 } = \frac { x } { x - 1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -7,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+7\right), cel mai mic multiplu comun al x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 1-2x și a combina termenii similari.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+7 cu x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Combinați -2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Combinați 3x cu -7x pentru a obține -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}-4x-1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-1 b=-3$$

Rescrieți -3x^{2}-4x-1 ca \left(-3x^{2}-x\right)+\left(-3x-1\right).

$$\left(-3x^{2}-x\right)+\left(-3x-1\right)$$

Scoateți scoateți factorul -x din primul și -1 din cel de-al doilea grup.

$$-x\left(3x+1\right)-\left(3x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+1\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 3x+1=0 și -x-1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -7,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+7\right), cel mai mic multiplu comun al x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 1-2x și a combina termenii similari.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+7 cu x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Combinați -2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Combinați 3x cu -7x pentru a obține -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-4x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -4 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 16 cu -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{4±2}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2.

$$x=\frac{6}{-6}$$

Împărțiți 6 la -6.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=-\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -7,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+7\right), cel mai mic multiplu comun al x+7,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+7\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 1-2x și a combina termenii similari.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+7\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+7 cu x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+7x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=7x$$

Combinați -2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=7x$$

Scădeți 7x din ambele părți.

$$3x-3x^{2}-1-7x=0$$

Combinați 3x cu -7x pentru a obține -4x.

$$-4x-3x^{2}-1=0$$

Adăugați 1 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-4x-3x^{2}=1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-4x=1$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-3}\right)x=\frac{1}{-3}$$

Împărțiți -4 la -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Împărțiți 1 la -3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți \frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Factorul x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Scădeți \frac{2}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$