Rezolvați 1/x-2-4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Scădeți 4 din 2 pentru a obține -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$x-2=x^{2}-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Adunați -2 și 4 pentru a obține 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=2 b=-1$$

Rescrieți -x^{2}+x+2 ca \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Scădeți 4 din 2 pentru a obține -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$x-2=x^{2}-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

Adunați -2 și 4 pentru a obține 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 1 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±3}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 3.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±3}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x^{2}-4.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Scădeți 4 din 2 pentru a obține -2.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$x-2=x^{2}-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x-2-x^{2}=-4$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$x-x^{2}=-4+2$$

Adunați -4 și 2 pentru a obține -2.

$$x-x^{2}=-2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-2$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

Împărțiți -2 la -1.

$$x^{2}-x=2$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adunați 2 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-1$$