Rezolvați 1/x-1-x/x+1-2=0

$$\frac { 1 } { x - 1 } - \frac { x } { x + 1 } - 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 1}{3} \approx 1,387425887$$

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\approx -0,72075922$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-1 cu -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Combinați -x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Adunați 1 și 2 pentru a obține 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+2x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 2 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 4 cu 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{-6}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{10} la -6.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{10} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{-6}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{10} la -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-1 cu -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Combinați -x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Adunați 1 și 2 pentru a obține 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Scădeți 3 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$2x-3x^{2}=-3$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x=-3$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{3}{-3}$$

Împărțiți 2 la -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{-3}$$

Împărțiți -3 la -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$$

Împărțiți -\frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Adunați 1 cu \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Adunați \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$