Rezolvați 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Combinați 4x cu 4x pentru a obține 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Scădeți 4 din -16 pentru a obține -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x-20 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Adăugați 25x la ambele părți.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Combinați 8x cu 25x pentru a obține 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Scădeți 20 din ambele părți.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Scădeți 20 din -20 pentru a obține -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 33 și c cu -40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 33 la pătrat.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 1089 cu -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-33±17}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -33 cu 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{-10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-33±17}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Împărțiți -50 la -10.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Combinați 4x cu 4x pentru a obține 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Scădeți 4 din -16 pentru a obține -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x-20 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Adăugați 25x la ambele părți.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Combinați 8x cu 25x pentru a obține 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Adăugați 20 la ambele părți.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Adunați 20 și 20 pentru a obține 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Împărțiți 33 la -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Împărțiți 40 la -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Împărțiți -\frac{33}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{33}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{33}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{33}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Adunați -8 cu \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Adunați \frac{33}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$