Rezolvați 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Combinați x cu x\times 4 pentru a obține 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Combinați 5x cu x pentru a obține 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Scădeți 15x din ambele părți.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Combinați 6x cu -15x pentru a obține -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Scădeți 15 din ambele părți.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Scădeți 15 din 1 pentru a obține -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -9 și c cu -14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Adunați 81 cu 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{137} din 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Combinați x cu x\times 4 pentru a obține 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Combinați 5x cu x pentru a obține 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Scădeți 15x din ambele părți.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Combinați 6x cu -15x pentru a obține -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Scădeți 1 din 15 pentru a obține 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Împărțiți -9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Adunați 14 cu \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Factor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Adunați \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$