Rezolvați 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

Pașii soluției

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -8,-5,-2,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 21 cu x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 21x+105 cu x+8 și a combina termenii similari.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 21 cu x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 21x-21 cu x+8 și a combina termenii similari.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combinați 21x^{2} cu 21x^{2} pentru a obține 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combinați 273x cu 147x pentru a obține 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Scădeți 168 din 840 pentru a obține 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 21 cu x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 21x+42 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combinați 42x^{2} cu 21x^{2} pentru a obține 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combinați 420x cu 21x pentru a obține 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Scădeți 42 din 672 pentru a obține 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7x+14 cu x+5 și a combina termenii similari.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7x^{2}+49x+70 cu x+8 și a combina termenii similari.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Înmulțiți 21 cu -\frac{1}{21} pentru a obține -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x+1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x^{2}-x+2 cu x+5 și a combina termenii similari.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x^{3}-6x^{2}-3x+10 cu x+8 și a combina termenii similari.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Combinați 7x^{3} cu -14x^{3} pentru a obține -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Combinați 105x^{2} cu -51x^{2} pentru a obține 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Combinați 462x cu -14x pentru a obține 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Adunați 560 și 80 pentru a obține 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Adăugați 7x^{3} la ambele părți.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Scădeți 54x^{2} din ambele părți.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Combinați 63x^{2} cu -54x^{2} pentru a obține 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Scădeți 448x din ambele părți.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Combinați 441x cu -448x pentru a obține -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Scădeți 640 din ambele părți.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Scădeți 640 din 630 pentru a obține -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Adăugați x^{4} la ambele părți.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Rearanjați ecuația pentru a o trece sub formă standard. Plasați termenii în ordine, de la cea mai mare la cea mai mică putere.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -10 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 la x-1 pentru a obține x^{3}+8x^{2}+17x+10. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 10 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+8x^{2}+17x+10 la x+1 pentru a obține x^{2}+7x+10. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 7 și c cu 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}+7x+10=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-5 x=-2$$

Eliminați valorile cu care variabila nu poate fi egală.

$$x=-1$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,-5,-2.

$$x=-1$$