Rezolvați 1/x+2+x/x-2=2/x^2-4

$$\frac { 1 } { x + 2 } + \frac { x } { x - 2 } = \frac { 2 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x+2,x-2,x^{2}-4.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

Combinați x cu 2x pentru a obține 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

Scădeți 2 din -2 pentru a obține -4.

$$3x-4+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+3x-4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+3x-4 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-4$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-1 b=4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și x+4=0.

$$x=1 x=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x+2,x-2,x^{2}-4.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

Combinați x cu 2x pentru a obține 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

Scădeți 2 din -2 pentru a obține -4.

$$3x-4+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+3x-4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-1 b=4$$

Rescrieți x^{2}+3x-4 ca \left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și x+4=0.

$$x=1 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x+2,x-2,x^{2}-4.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

Combinați x cu 2x pentru a obține 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

Scădeți 2 din -2 pentru a obține -4.

$$3x-4+x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+3x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 3 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2}$$

Adunați 9 cu 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-3±5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±5}{2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 5.

$$x=\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±5}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -3.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x+2,x-2,x^{2}-4.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

Combinați x cu 2x pentru a obține 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$3x+x^{2}=2+2$$

Adunați 2 și 2 pentru a obține 4.

$$3x+x^{2}=4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=4$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Adunați 4 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-4$$