Rezolvați 1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1)

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Adunați -2 și 3 pentru a obține 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Combinați 7x cu 2x pentru a obține 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Scădeți 9x din ambele părți.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Combinați 2x cu -9x pentru a obține -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-7x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -7 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

Adunați 49 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 45.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{5} din 7.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Adunați -2 și 3 pentru a obține 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-2x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Combinați 7x cu 2x pentru a obține 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Scădeți 9x din ambele părți.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Combinați 2x cu -9x pentru a obține -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-7x+x^{2}=-1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x=-1$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Adunați -1 cu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Factor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$