Rezolvați 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Combinați x cu 2x pentru a obține 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Adunați -1 și 2 pentru a obține 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Combinați 3x cu -2x pentru a obține x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 1 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Împărțiți -1+\sqrt{5} la -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{5} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Împărțiți -1-\sqrt{5} la -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Combinați x cu 2x pentru a obține 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Adunați -1 și 2 pentru a obține 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Scădeți 2x din ambele părți.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Combinați 3x cu -2x pentru a obține x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x-x^{2}=-1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Împărțiți -1 la -1.

$$x^{2}-x=1$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Adunați 1 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$