Rezolvați 1/m-4=m/m+24

$$\frac { 1 } { m - 4 } = \frac { m } { m + 24 }$$

Rezolvați pentru m

$$m=-3$$

$$m=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila m nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -24,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(m-4\right)\left(m+24\right), cel mai mic multiplu comun al m-4,m+24.

$$m+24=\left(m-4\right)m$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți m-4 cu m.

$$m+24=m^{2}-4m$$

Scădeți m^{2} din ambele părți.

$$m+24-m^{2}=-4m$$

Adăugați 4m la ambele părți.

$$m+24-m^{2}+4m=0$$

Combinați m cu 4m pentru a obține 5m.

$$5m+24-m^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-m^{2}+5m+24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -m^{2}+am+bm+24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=8 b=-3$$

Rescrieți -m^{2}+5m+24 ca \left(-m^{2}+8m\right)+\left(-3m+24\right).

$$\left(-m^{2}+8m\right)+\left(-3m+24\right)$$

Factor -m în primul și -3 în al doilea grup.

$$-m\left(m-8\right)-3\left(m-8\right)$$

Scoateți termenul comun m-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(m-8\right)\left(-m-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați m-8=0 și -m-3=0.

$$m=8 m=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila m nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -24,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(m-4\right)\left(m+24\right), cel mai mic multiplu comun al m-4,m+24.

$$m+24=\left(m-4\right)m$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți m-4 cu m.

$$m+24=m^{2}-4m$$

Scădeți m^{2} din ambele părți.

$$m+24-m^{2}=-4m$$

Adăugați 4m la ambele părți.

$$m+24-m^{2}+4m=0$$

Combinați m cu 4m pentru a obține 5m.

$$5m+24-m^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-m^{2}+5m+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 5 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$m=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$m=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 24.

$$m=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 25 cu 96.

$$m=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$m=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$m=\frac{-5±11}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația m=\frac{-5±11}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 11.

$$m=\frac{6}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$m=-3$$

Acum rezolvați ecuația m=\frac{-5±11}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -5.

$$m=-\frac{16}{-2}$$

Împărțiți -16 la -2.

$$m=8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$m=-3 m=8$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila m nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -24,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(m-4\right)\left(m+24\right), cel mai mic multiplu comun al m-4,m+24.

$$m+24=\left(m-4\right)m$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți m-4 cu m.

$$m+24=m^{2}-4m$$

Scădeți m^{2} din ambele părți.

$$m+24-m^{2}=-4m$$

Adăugați 4m la ambele părți.

$$m+24-m^{2}+4m=0$$

Combinați m cu 4m pentru a obține 5m.

$$5m+24-m^{2}=0$$

Scădeți 24 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$5m-m^{2}=-24$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-m^{2}+5m=-24$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-m^{2}+5m}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$m^{2}+\frac{5}{-1}m=-\frac{24}{-1}$$

Împărțiți 5 la -1.

$$m^{2}-5m=-\frac{24}{-1}$$

Împărțiți -24 la -1.

$$m^{2}-5m=24$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$m^{2}-5m+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$m^{2}-5m+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Adunați 24 cu \frac{25}{4}.

$$m^{2}-5m+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor m^{2}-5m+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(m-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$m-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} m-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$m=8 m=-3$$