Rezolvați 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,\frac{1}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, cel mai mic multiplu comun al 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combinați 5x cu 48x pentru a obține 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Scădeți 16 din 10 pentru a obține -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x+10 cu 3x-1 și a combina termenii similari.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Scădeți 15x^{2} din ambele părți.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Scădeți 25x din ambele părți.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combinați 53x cu -25x pentru a obține 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Adăugați 10 la ambele părți.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Adunați -6 și 10 pentru a obține 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -15x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 28.

$$a=30 b=-2$$

Rescrieți -15x^{2}+28x+4 ca \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factor 15x în primul și 2 în al doilea grup.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Scoateți termenul comun -x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+2=0 și 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,\frac{1}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, cel mai mic multiplu comun al 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combinați 5x cu 48x pentru a obține 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Scădeți 16 din 10 pentru a obține -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x+10 cu 3x-1 și a combina termenii similari.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Scădeți 15x^{2} din ambele părți.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Scădeți 25x din ambele părți.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combinați 53x cu -25x pentru a obține 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Adăugați 10 la ambele părți.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Adunați -6 și 10 pentru a obține 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -15, b cu 28 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Ridicați 28 la pătrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți 60 cu 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Adunați 784 cu 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±32}{-30} atunci când ± este plus. Adunați -28 cu 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Reduceți fracția \frac{4}{-30} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±32}{-30} atunci când ± este minus. Scădeți 32 din -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Împărțiți -60 la -30.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,\frac{1}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, cel mai mic multiplu comun al 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Combinați 5x cu 48x pentru a obține 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Scădeți 16 din 10 pentru a obține -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x+10 cu 3x-1 și a combina termenii similari.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Scădeți 15x^{2} din ambele părți.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Scădeți 25x din ambele părți.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Combinați 53x cu -25x pentru a obține 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Adăugați 6 la ambele părți.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Adunați -10 și 6 pentru a obține -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Se împart ambele părți la -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Împărțirea la -15 anulează înmulțirea cu -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Împărțiți 28 la -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Împărțiți -4 la -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Împărțiți -\frac{28}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{14}{15}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{14}{15} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{14}{15} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Adunați \frac{4}{15} cu \frac{196}{225} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Factor x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Adunați \frac{14}{15} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$