Rezolvați 1/3+1/x=1/2+x-1/6x

$$\frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 2 + x } - \frac { 1 } { 6 x }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{4}\approx -1,25+2,331844763i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{4}\approx -1,25-2,331844763i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6x\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al 3,x,2+x,6x.

$$6x\left(x+2\right)\times \frac{1}{3}+6x+12=6x-\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x cu x+2.

$$\left(6x^{2}+12x\right)\times \frac{1}{3}+6x+12=6x-\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x^{2}+12x cu \frac{1}{3}.

$$2x^{2}+4x+6x+12=6x-\left(x+2\right)$$

Combinați 4x cu 6x pentru a obține 10x.

$$2x^{2}+10x+12=6x-\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x+2, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}+10x+12=6x-x-2$$

Combinați 6x cu -x pentru a obține 5x.

$$2x^{2}+10x+12=5x-2$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$2x^{2}+10x+12-5x=-2$$

Combinați 10x cu -5x pentru a obține 5x.

$$2x^{2}+5x+12=-2$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$2x^{2}+5x+12+2=0$$

Adunați 12 și 2 pentru a obține 14.

$$2x^{2}+5x+14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 5 și c cu 14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 14}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 14.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu -112.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -87.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{4} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{87} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{4} x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6x\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al 3,x,2+x,6x.

$$6x\left(x+2\right)\times \frac{1}{3}+6x+12=6x-\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x cu x+2.

$$\left(6x^{2}+12x\right)\times \frac{1}{3}+6x+12=6x-\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x^{2}+12x cu \frac{1}{3}.

$$2x^{2}+4x+6x+12=6x-\left(x+2\right)$$

Combinați 4x cu 6x pentru a obține 10x.

$$2x^{2}+10x+12=6x-\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x+2, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}+10x+12=6x-x-2$$

Combinați 6x cu -x pentru a obține 5x.

$$2x^{2}+10x+12=5x-2$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$2x^{2}+10x+12-5x=-2$$

Combinați 10x cu -5x pentru a obține 5x.

$$2x^{2}+5x+12=-2$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$2x^{2}+5x=-2-12$$

Scădeți 12 din -2 pentru a obține -14.

$$2x^{2}+5x=-14$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=-\frac{14}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-\frac{14}{2}$$

Împărțiți -14 la 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-7$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-7+\frac{25}{16}$$

Adunați -7 cu \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{87}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{87}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{87}i}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{87}i}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{4} x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{4}$$