Rezolvați 1/2(x^2+x)=1

$$\frac { 1 } { 2 } ( x ^ { 2 } + x ) = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Se înmulțesc ambele părți cu 2, reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x^{2}+x=1\times 2$$

Înmulțiți 1 cu 2 pentru a obține 2.

$$x^{2}+x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}+x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+x-2 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-1 b=2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se înmulțesc ambele părți cu 2, reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x^{2}+x=1\times 2$$

Înmulțiți 1 cu 2 pentru a obține 2.

$$x^{2}+x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}+x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-1 b=2$$

Rescrieți x^{2}+x-2 ca \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Se înmulțesc ambele părți cu 2, reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x^{2}+x=1\times 2$$

Înmulțiți 1 cu 2 pentru a obține 2.

$$x^{2}+x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}+x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2}$$

Adunați 1 cu 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-1±3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±3}{2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 3.

$$x=\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±3}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -1.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Împărțiți -4 la 2.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Se înmulțesc ambele părți cu 2, reciproca lui \frac{1}{2}.

$$x^{2}+x=1\times 2$$

Înmulțiți 1 cu 2 pentru a obține 2.

$$x^{2}+x=2$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adunați 2 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-2$$