Rezolvați 1/1frac{7{9}x}+1/x+1/1frac{7{9}x+2}=1/12

$$\frac { 1 } { 1 \frac { 7 } { 9 } x } + \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { 1 \frac { 7 } { 9 } x + 2 } = \frac { 1 } { 12 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{15 \sqrt{193} + 195}{16} \approx 25,21166624$$

$$x=\frac{195-15\sqrt{193}}{16}\approx -0,83666624$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 12x, cel mai mic multiplu comun al x,12.

$$\frac{27}{4}+12+54x\left(8x+9\right)^{-1}=x$$

Adunați \frac{27}{4} și 12 pentru a obține \frac{75}{4}.

$$\frac{75}{4}+54x\left(8x+9\right)^{-1}=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$\frac{75}{4}+54x\left(8x+9\right)^{-1}-x=0$$

Reordonați termenii.

$$-x+54\times \frac{1}{8x+9}x+\frac{75}{4}=0$$

Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{9}{8}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(8x+9\right), cel mai mic multiplu comun al 8x+9,4.

$$-x\times 4\left(8x+9\right)+54\times 4\times 1x+4\left(8x+9\right)\times \frac{75}{4}=0$$

Înmulțiți -1 cu 4 pentru a obține -4.

$$-4x\left(8x+9\right)+54\times 4\times 1x+4\left(8x+9\right)\times \frac{75}{4}=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x cu 8x+9.

$$-32x^{2}-36x+54\times 4\times 1x+4\left(8x+9\right)\times \frac{75}{4}=0$$

Înmulțiți 54 cu 4 pentru a obține 216.

$$-32x^{2}-36x+216\times 1x+4\left(8x+9\right)\times \frac{75}{4}=0$$

Înmulțiți 216 cu 1 pentru a obține 216.

$$-32x^{2}-36x+216x+4\left(8x+9\right)\times \frac{75}{4}=0$$

Combinați -36x cu 216x pentru a obține 180x.

$$-32x^{2}+180x+4\left(8x+9\right)\times \frac{75}{4}=0$$

Înmulțiți 4 cu \frac{75}{4} pentru a obține 75.

$$-32x^{2}+180x+75\left(8x+9\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 75 cu 8x+9.

$$-32x^{2}+180x+600x+675=0$$

Combinați 180x cu 600x pentru a obține 780x.

$$-32x^{2}+780x+675=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -32, b cu 780 și c cu 675 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-780±\sqrt{780^{2}-4\left(-32\right)\times 675}}{2\left(-32\right)}$$

Ridicați 780 la pătrat.

$$x=\frac{-780±\sqrt{608400-4\left(-32\right)\times 675}}{2\left(-32\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -32.

$$x=\frac{-780±\sqrt{608400+128\times 675}}{2\left(-32\right)}$$

Înmulțiți 128 cu 675.

$$x=\frac{-780±\sqrt{608400+86400}}{2\left(-32\right)}$$

Adunați 608400 cu 86400.

$$x=\frac{-780±\sqrt{694800}}{2\left(-32\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 694800.

$$x=\frac{-780±60\sqrt{193}}{2\left(-32\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -32.

$$x=\frac{-780±60\sqrt{193}}{-64}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-780±60\sqrt{193}}{-64} atunci când ± este plus. Adunați -780 cu 60\sqrt{193}.

$$x=\frac{60\sqrt{193}-780}{-64}$$

Împărțiți -780+60\sqrt{193} la -64.

$$x=\frac{195-15\sqrt{193}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-780±60\sqrt{193}}{-64} atunci când ± este minus. Scădeți 60\sqrt{193} din -780.

$$x=\frac{-60\sqrt{193}-780}{-64}$$

Împărțiți -780-60\sqrt{193} la -64.

$$x=\frac{15\sqrt{193}+195}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{195-15\sqrt{193}}{16} x=\frac{15\sqrt{193}+195}{16}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 12x, cel mai mic multiplu comun al x,12.

$$\frac{27}{4}+12+54x\left(8x+9\right)^{-1}=x$$

Adunați \frac{27}{4} și 12 pentru a obține \frac{75}{4}.

$$\frac{75}{4}+54x\left(8x+9\right)^{-1}=x$$

Scădeți x din ambele părți.

$$\frac{75}{4}+54x\left(8x+9\right)^{-1}-x=0$$

Scădeți \frac{75}{4} din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$54x\left(8x+9\right)^{-1}-x=-\frac{75}{4}$$

Reordonați termenii.

$$-x+54\times \frac{1}{8x+9}x=-\frac{75}{4}$$

Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{9}{8}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(8x+9\right), cel mai mic multiplu comun al 8x+9,4.

$$-x\times 4\left(8x+9\right)+54\times 4\times 1x=-75\left(8x+9\right)$$

Înmulțiți -1 cu 4 pentru a obține -4.

$$-4x\left(8x+9\right)+54\times 4\times 1x=-75\left(8x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4x cu 8x+9.

$$-32x^{2}-36x+54\times 4\times 1x=-75\left(8x+9\right)$$

Înmulțiți 54 cu 4 pentru a obține 216.

$$-32x^{2}-36x+216\times 1x=-75\left(8x+9\right)$$

Înmulțiți 216 cu 1 pentru a obține 216.

$$-32x^{2}-36x+216x=-75\left(8x+9\right)$$

Combinați -36x cu 216x pentru a obține 180x.

$$-32x^{2}+180x=-75\left(8x+9\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -75 cu 8x+9.

$$-32x^{2}+180x=-600x-675$$

Adăugați 600x la ambele părți.

$$-32x^{2}+180x+600x=-675$$

Combinați 180x cu 600x pentru a obține 780x.

$$-32x^{2}+780x=-675$$

Se împart ambele părți la -32.

$$\frac{-32x^{2}+780x}{-32}=-\frac{675}{-32}$$

Împărțirea la -32 anulează înmulțirea cu -32.

$$x^{2}+\frac{780}{-32}x=-\frac{675}{-32}$$

Reduceți fracția \frac{780}{-32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{195}{8}x=-\frac{675}{-32}$$

Împărțiți -675 la -32.

$$x^{2}-\frac{195}{8}x=\frac{675}{32}$$

Împărțiți -\frac{195}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{195}{16}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{195}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{195}{8}x+\left(-\frac{195}{16}\right)^{2}=\frac{675}{32}+\left(-\frac{195}{16}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{195}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{195}{8}x+\frac{38025}{256}=\frac{675}{32}+\frac{38025}{256}$$

Adunați \frac{675}{32} cu \frac{38025}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{195}{8}x+\frac{38025}{256}=\frac{43425}{256}$$

Factor x^{2}-\frac{195}{8}x+\frac{38025}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{195}{16}\right)^{2}=\frac{43425}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{195}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43425}{256}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{195}{16}=\frac{15\sqrt{193}}{16} x-\frac{195}{16}=-\frac{15\sqrt{193}}{16}$$

Adunați \frac{195}{16} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{15\sqrt{193}+195}{16} x=\frac{195-15\sqrt{193}}{16}$$