Rezolvați 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Adăugați 5x la ambele părți.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Adăugați 3 la ambele părți.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Adunați -4 și 3 pentru a obține -1.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 5 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 25 cu -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Împărțiți -5+\sqrt{21} la -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{21} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Împărțiți -5-\sqrt{21} la -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Adăugați 5x la ambele părți.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Adunați -3 și 4 pentru a obține 1.

$$-x^{2}+5x=1$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 5 la -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Adunați -1 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$