Rezolvați 1+x-y/x+y/1-frac{x-y{x+y}}+1+frac{x-y/x^{2+y^2}}{1-x^2-y/x^2+y^2}=

$$\frac { 1 + \frac { x - y } { x + y } } { 1 - \frac { x - y } { x + y } } + \frac { 1 + \frac { x - y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { 1 - \frac { x ^ { 2 } - y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } =$$

Evaluați

$$\frac{x^{2}+xy+2x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Pașii soluției scurte

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{x+y}{x+y}.

$$\frac{\frac{x+y}{x+y}+\frac{x-y}{x+y}}{1-\frac{x-y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Deoarece \frac{x+y}{x+y} și \frac{x-y}{x+y} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{\frac{x+y+x-y}{x+y}}{1-\frac{x-y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Combinați termeni similari în x+y+x-y.

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{1-\frac{x-y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{x+y}{x+y}.

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{\frac{x+y}{x+y}-\frac{x-y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Deoarece \frac{x+y}{x+y} și \frac{x-y}{x+y} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{\frac{x+y-\left(x-y\right)}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Faceți înmulțiri în x+y-\left(x-y\right).

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{\frac{x+y-x+y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Combinați termeni similari în x+y-x+y.

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{\frac{2y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Împărțiți \frac{2x}{x+y} la \frac{2y}{x+y} înmulțind pe \frac{2x}{x+y} cu reciproca lui \frac{2y}{x+y}.

$$\frac{2x\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\times 2y}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Reduceți prin eliminare 2\left(x+y\right) atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{x}{y}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Deoarece \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}} și \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Deoarece \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}} și \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac{x^{2}+y^{2}-\left(x^{2}-y\right)}{x^{2}+y^{2}}}$$

Faceți înmulțiri în x^{2}+y^{2}-\left(x^{2}-y\right).

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac{x^{2}+y^{2}-x^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Combinați termeni similari în x^{2}+y^{2}-x^{2}+y.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac{y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Împărțiți \frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}} la \frac{y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} înmulțind pe \frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}} cu reciproca lui \frac{y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{x}{y}+\frac{\left(x^{2}+y^{2}+x-y\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(y^{2}+y\right)}$$

Reduceți prin eliminare x^{2}+y^{2} atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{x}{y}+\frac{x^{2}+x+y^{2}-y}{y^{2}+y}$$

Descompuneți în factori y^{2}+y.

$$\frac{x}{y}+\frac{x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui y și y\left(y+1\right) este y\left(y+1\right). Înmulțiți \frac{x}{y} cu \frac{y+1}{y+1}.

$$\frac{x\left(y+1\right)}{y\left(y+1\right)}+\frac{x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Deoarece \frac{x\left(y+1\right)}{y\left(y+1\right)} și \frac{x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{x\left(y+1\right)+x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Faceți înmulțiri în x\left(y+1\right)+x^{2}+x+y^{2}-y.

$$\frac{xy+x+x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Combinați termeni similari în xy+x+x^{2}+x+y^{2}-y.

$$\frac{y^{2}+xy+2x+x^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Extindeți y\left(y+1\right).

$$\frac{y^{2}+xy+2x+x^{2}-y}{y^{2}+y}$$

Extindere

$$\frac{x^{2}+xy+2x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Pașii soluției scurte

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{x+y}{x+y}.

$$\frac{\frac{x+y}{x+y}+\frac{x-y}{x+y}}{1-\frac{x-y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Deoarece \frac{x+y}{x+y} și \frac{x-y}{x+y} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{\frac{x+y+x-y}{x+y}}{1-\frac{x-y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Combinați termeni similari în x+y+x-y.

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{1-\frac{x-y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{x+y}{x+y}.

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{\frac{x+y}{x+y}-\frac{x-y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Deoarece \frac{x+y}{x+y} și \frac{x-y}{x+y} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{\frac{x+y-\left(x-y\right)}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Faceți înmulțiri în x+y-\left(x-y\right).

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{\frac{x+y-x+y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Combinați termeni similari în x+y-x+y.

$$\frac{\frac{2x}{x+y}}{\frac{2y}{x+y}}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Împărțiți \frac{2x}{x+y} la \frac{2y}{x+y} înmulțind pe \frac{2x}{x+y} cu reciproca lui \frac{2y}{x+y}.

$$\frac{2x\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\times 2y}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Reduceți prin eliminare 2\left(x+y\right) atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{x}{y}+\frac{1+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Deoarece \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}} și \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{1-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Deoarece \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}} și \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y^{2}} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac{x^{2}+y^{2}-\left(x^{2}-y\right)}{x^{2}+y^{2}}}$$

Faceți înmulțiri în x^{2}+y^{2}-\left(x^{2}-y\right).

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac{x^{2}+y^{2}-x^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Combinați termeni similari în x^{2}+y^{2}-x^{2}+y.

$$\frac{x}{y}+\frac{\frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac{y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}}$$

Împărțiți \frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}} la \frac{y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}} înmulțind pe \frac{x^{2}+y^{2}+x-y}{x^{2}+y^{2}} cu reciproca lui \frac{y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}.

$$\frac{x}{y}+\frac{\left(x^{2}+y^{2}+x-y\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(y^{2}+y\right)}$$

Reduceți prin eliminare x^{2}+y^{2} atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{x}{y}+\frac{x^{2}+x+y^{2}-y}{y^{2}+y}$$

Descompuneți în factori y^{2}+y.

$$\frac{x}{y}+\frac{x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui y și y\left(y+1\right) este y\left(y+1\right). Înmulțiți \frac{x}{y} cu \frac{y+1}{y+1}.

$$\frac{x\left(y+1\right)}{y\left(y+1\right)}+\frac{x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Deoarece \frac{x\left(y+1\right)}{y\left(y+1\right)} și \frac{x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{x\left(y+1\right)+x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Faceți înmulțiri în x\left(y+1\right)+x^{2}+x+y^{2}-y.

$$\frac{xy+x+x^{2}+x+y^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Combinați termeni similari în xy+x+x^{2}+x+y^{2}-y.

$$\frac{y^{2}+xy+2x+x^{2}-y}{y\left(y+1\right)}$$

Extindeți y\left(y+1\right).

$$\frac{y^{2}+xy+2x+x^{2}-y}{y^{2}+y}$$