Rezolvați -f/10f+42=1/f+3

$$\frac { - f } { 10 f + 42 } = \frac { 1 } { f + 3 }$$

Rezolvați pentru f

$$f=-7$$

$$f=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila f nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{21}{5},-3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right), cel mai mic multiplu comun al 10f+42,f+3.

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți f+3 cu -f.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Scădeți 10f din ambele părți.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Scădeți 42 din ambele părți.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f-42=0$$

Înmulțiți f cu f pentru a obține f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f-42=0$$

Înmulțiți 3 cu -1 pentru a obține -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f-42=0$$

Combinați -3f cu -10f pentru a obține -13f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f-42=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-f^{2}-13f-42=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -13 și c cu -42 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -13 la pătrat.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -42.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 169 cu -168.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -13 este 13.

$$f=\frac{13±1}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$f=\frac{13±1}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația f=\frac{13±1}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 13 cu 1.

$$f=\frac{14}{-2}$$

Împărțiți 14 la -2.

$$f=-7$$

Acum rezolvați ecuația f=\frac{13±1}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 13.

$$f=\frac{12}{-2}$$

Împărțiți 12 la -2.

$$f=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$f=-7 f=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila f nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{21}{5},-3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right), cel mai mic multiplu comun al 10f+42,f+3.

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți f+3 cu -f.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Scădeți 10f din ambele părți.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Înmulțiți f cu f pentru a obține f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f=42$$

Înmulțiți 3 cu -1 pentru a obține -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f=42$$

Combinați -3f cu -10f pentru a obține -13f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f=42$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-f^{2}-13f=42$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-f^{2}-13f}{-1}=\frac{42}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$f^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)f=\frac{42}{-1}$$

Împărțiți -13 la -1.

$$f^{2}+13f=\frac{42}{-1}$$

Împărțiți 42 la -1.

$$f^{2}+13f=-42$$

Împărțiți 13, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$f^{2}+13f+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Adunați -42 cu \frac{169}{4}.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor f^{2}+13f+\frac{169}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$f+\frac{13}{2}=\frac{1}{2} f+\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Scădeți \frac{13}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$f=-6 f=-7$$