Rezolvați (x+3)(6-x)/36-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 36 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al 36-4x^{2},4.

$$-\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu x+3.

$$\left(-x-3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x-3 cu 6-x și a combina termenii similari.

$$-3x+x^{2}-18=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu x-3.

$$-3x+x^{2}-18=\left(-x+3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x+3 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$-3x+x^{2}-18=-x^{2}+9$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$-3x+x^{2}-18+x^{2}=9$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$-3x+2x^{2}-18=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$-3x+2x^{2}-18-9=0$$

Scădeți 9 din -18 pentru a obține -27.

$$-3x+2x^{2}-27=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$2x^{2}-3x-27=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-27. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=2\left(-27\right)=-54$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -54.

$$1,-54 2,-27 3,-18 6,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-54=-53 2-27=-25 3-18=-15 6-9=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-9 b=6$$

Rescrieți 2x^{2}-3x-27 ca \left(2x^{2}-9x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(6x-27\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-9\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-9=0 și x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -3.

$$x=\frac{9}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al 36-4x^{2},4.

$$-\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu x+3.

$$\left(-x-3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x-3 cu 6-x și a combina termenii similari.

$$-3x+x^{2}-18=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu x-3.

$$-3x+x^{2}-18=\left(-x+3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x+3 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$-3x+x^{2}-18=-x^{2}+9$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$-3x+x^{2}-18+x^{2}=9$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$-3x+2x^{2}-18=9$$

Scădeți 9 din ambele părți.

$$-3x+2x^{2}-18-9=0$$

Scădeți 9 din -18 pentru a obține -27.

$$-3x+2x^{2}-27=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-3x-27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -3 și c cu -27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -27.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+216}}{2\times 2}$$

Adunați 9 cu 216.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±15}{2\times 2}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±15}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{3±15}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±15}{4} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 15.

$$x=\frac{18}{4}$$

Reduceți fracția \frac{18}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±15}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din 3.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Împărțiți -12 la 4.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -3.

$$x=\frac{9}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al 36-4x^{2},4.

$$-\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu x+3.

$$\left(-x-3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x-3 cu 6-x și a combina termenii similari.

$$-3x+x^{2}-18=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -1 cu x-3.

$$-3x+x^{2}-18=\left(-x+3\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x+3 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$-3x+x^{2}-18=-x^{2}+9$$

Adăugați x^{2} la ambele părți.

$$-3x+x^{2}-18+x^{2}=9$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$-3x+2x^{2}-18=9$$

Adăugați 18 la ambele părți.

$$-3x+2x^{2}=9+18$$

Adunați 9 și 18 pentru a obține 27.

$$-3x+2x^{2}=27$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x=27$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{27}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{27}{2}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{27}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{27}{2}+\frac{9}{16}$$

Adunați \frac{27}{2} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{225}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{15}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{15}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -3.

$$x=\frac{9}{2}$$