Rezolvați (x+3)/(x-2)-8/3=(x+2)/(x-1)

$$\frac { ( x + 3 ) } { ( x - 2 ) } - \frac { 8 } { 3 } = \frac { ( x + 2 ) } { ( x - 1 ) }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4} = 3,25$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3\left(x-2\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,3,x-1.

$$\left(3x-3\right)\left(x+3\right)+3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(-\frac{8}{3}\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-3 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+6x-9+3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(-\frac{8}{3}\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Înmulțiți 3 cu -\frac{8}{3} pentru a obține -8.

$$3x^{2}+6x-9-8\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -8 cu x-2.

$$3x^{2}+6x-9+\left(-8x+16\right)\left(x-1\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -8x+16 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+6x-9-8x^{2}+24x-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Combinați 3x^{2} cu -8x^{2} pentru a obține -5x^{2}.

$$-5x^{2}+6x-9+24x-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Combinați 6x cu 24x pentru a obține 30x.

$$-5x^{2}+30x-9-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Scădeți 16 din -9 pentru a obține -25.

$$-5x^{2}+30x-25=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-6 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-5x^{2}+30x-25=3x^{2}-12$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$-5x^{2}+30x-25-3x^{2}=-12$$

Combinați -5x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$-8x^{2}+30x-25=-12$$

Adăugați 12 la ambele părți.

$$-8x^{2}+30x-25+12=0$$

Adunați -25 și 12 pentru a obține -13.

$$-8x^{2}+30x-13=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 30 și c cu -13 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-8\right)\left(-13\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-8\right)\left(-13\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+32\left(-13\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu -13.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-416}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 900 cu -416.

$$x=\frac{-30±\sqrt{484}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 484.

$$x=\frac{-30±22}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{-30±22}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±22}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -30 cu 22.

$$x=-\frac{8}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±22}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 22 din -30.

$$x=-\frac{52}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{-52}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{13}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{13}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3\left(x-2\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,3,x-1.

$$\left(3x-3\right)\left(x+3\right)+3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(-\frac{8}{3}\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-3 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+6x-9+3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(-\frac{8}{3}\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Înmulțiți 3 cu -\frac{8}{3} pentru a obține -8.

$$3x^{2}+6x-9-8\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -8 cu x-2.

$$3x^{2}+6x-9+\left(-8x+16\right)\left(x-1\right)=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -8x+16 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+6x-9-8x^{2}+24x-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Combinați 3x^{2} cu -8x^{2} pentru a obține -5x^{2}.

$$-5x^{2}+6x-9+24x-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Combinați 6x cu 24x pentru a obține 30x.

$$-5x^{2}+30x-9-16=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Scădeți 16 din -9 pentru a obține -25.

$$-5x^{2}+30x-25=\left(3x-6\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-6 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$-5x^{2}+30x-25=3x^{2}-12$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$-5x^{2}+30x-25-3x^{2}=-12$$

Combinați -5x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$-8x^{2}+30x-25=-12$$

Adăugați 25 la ambele părți.

$$-8x^{2}+30x=-12+25$$

Adunați -12 și 25 pentru a obține 13.

$$-8x^{2}+30x=13$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8x^{2}+30x}{-8}=\frac{13}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$x^{2}+\frac{30}{-8}x=\frac{13}{-8}$$

Reduceți fracția \frac{30}{-8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=\frac{13}{-8}$$

Împărțiți 13 la -8.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{13}{8}$$

Împărțiți -\frac{15}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{13}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{13}{8}+\frac{225}{64}$$

Adunați -\frac{13}{8} cu \frac{225}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{121}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{11}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{11}{8}$$

Adunați \frac{15}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{13}{4} x=\frac{1}{2}$$