Rezolvați (x+3)^2/5+1-(3x-1)^2/5=x(2x-3)/2

$$\frac { ( x + 3 ) ^ { 2 } } { 5 } + 1 - \frac { ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } } { 5 } = \frac { x ( 2 x - 3 ) } { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 10, cel mai mic multiplu comun al 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Adunați 18 și 10 pentru a obține 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combinați 2x^{2} cu -18x^{2} pentru a obține -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combinați 12x cu 12x pentru a obține 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Scădeți 2 din 28 pentru a obține 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Scădeți 10x^{2} din ambele părți.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combinați -16x^{2} cu -10x^{2} pentru a obține -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Adăugați 15x la ambele părți.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combinați 24x cu 15x pentru a obține 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Se împart ambele părți la 13.

$$-2x^{2}+3x+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-2\times 2=-4$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=4 b=-1$$

Rescrieți -2x^{2}+3x+2 ca \left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din -2x^{2}+4x.

$$2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Scoateți termenul comun -x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+2=0 și 2x+1=0.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 10, cel mai mic multiplu comun al 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Adunați 18 și 10 pentru a obține 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combinați 2x^{2} cu -18x^{2} pentru a obține -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combinați 12x cu 12x pentru a obține 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Scădeți 2 din 28 pentru a obține 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Scădeți 10x^{2} din ambele părți.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combinați -16x^{2} cu -10x^{2} pentru a obține -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Adăugați 15x la ambele părți.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combinați 24x cu 15x pentru a obține 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -26, b cu 39 și c cu 26 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Ridicați 39 la pătrat.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+104\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Înmulțiți 104 cu 26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+2704}}{2\left(-26\right)}$$

Adunați 1521 cu 2704.

$$x=\frac{-39±\sqrt{4225}}{2\left(-26\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4225.

$$x=\frac{-39±65}{2\left(-26\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -26.

$$x=\frac{-39±65}{-52}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-39±65}{-52} atunci când ± este plus. Adunați -39 cu 65.

$$x=\frac{26}{-52}$$

Reduceți fracția \frac{26}{-52} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 26.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-39±65}{-52} atunci când ± este minus. Scădeți 65 din -39.

$$x=-\frac{104}{-52}$$

Împărțiți -104 la -52.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{2} x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 10, cel mai mic multiplu comun al 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Adunați 18 și 10 pentru a obține 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combinați 2x^{2} cu -18x^{2} pentru a obține -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combinați 12x cu 12x pentru a obține 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Scădeți 2 din 28 pentru a obține 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Scădeți 10x^{2} din ambele părți.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combinați -16x^{2} cu -10x^{2} pentru a obține -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Adăugați 15x la ambele părți.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combinați 24x cu 15x pentru a obține 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Scădeți 26 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-26x^{2}+39x=-26$$

Se împart ambele părți la -26.

$$\frac{-26x^{2}+39x}{-26}=-\frac{26}{-26}$$

Împărțirea la -26 anulează înmulțirea cu -26.

$$x^{2}+\frac{39}{-26}x=-\frac{26}{-26}$$

Reduceți fracția \frac{39}{-26} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 13.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{26}{-26}$$

Împărțiți -26 la -26.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=1$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$$

Adunați 1 cu \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$