Rezolvați (2x-1)^2/3-(x-2)(1-2x)/6=(1-2x)^2

$$\frac { ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } { 3 } - \frac { ( x - 2 ) ( 1 - 2 x ) } { 6 } = ( 1 - 2 x ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 3,6.

$$2\left(2x-1\right)^{2}-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-1\right)^{2}.

$$2\left(4x^{2}-4x+1\right)-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 4x^{2}-4x+1.

$$8x^{2}-8x+2-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 1-2x și a combina termenii similari.

$$8x^{2}-8x+2-\left(5x-2x^{2}-2\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui 5x-2x^{2}-2, găsiți opusul fiecărui termen.

$$8x^{2}-8x+2-5x+2x^{2}+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Combinați -8x cu -5x pentru a obține -13x.

$$8x^{2}-13x+2+2x^{2}+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Combinați 8x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}-13x+2+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Adunați 2 și 2 pentru a obține 4.

$$10x^{2}-13x+4=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1-2x\right)^{2}.

$$10x^{2}-13x+4=6\left(1-4x+4x^{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6 cu 1-4x+4x^{2}.

$$10x^{2}-13x+4=6-24x+24x^{2}$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$10x^{2}-13x+4-6=-24x+24x^{2}$$

Scădeți 6 din 4 pentru a obține -2.

$$10x^{2}-13x-2=-24x+24x^{2}$$

Adăugați 24x la ambele părți.

$$10x^{2}-13x-2+24x=24x^{2}$$

Combinați -13x cu 24x pentru a obține 11x.

$$10x^{2}+11x-2=24x^{2}$$

Scădeți 24x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+11x-2-24x^{2}=0$$

Combinați 10x^{2} cu -24x^{2} pentru a obține -14x^{2}.

$$-14x^{2}+11x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -14x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=-14\left(-2\right)=28$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=7 b=4$$

Rescrieți -14x^{2}+11x-2 ca \left(-14x^{2}+7x\right)+\left(4x-2\right).

$$\left(-14x^{2}+7x\right)+\left(4x-2\right)$$

Factor -7x în primul și 2 în al doilea grup.

$$-7x\left(2x-1\right)+2\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(-7x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-1=0 și -7x+2=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{2}{7}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 3,6.

$$2\left(2x-1\right)^{2}-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-1\right)^{2}.

$$2\left(4x^{2}-4x+1\right)-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 4x^{2}-4x+1.

$$8x^{2}-8x+2-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 1-2x și a combina termenii similari.

$$8x^{2}-8x+2-\left(5x-2x^{2}-2\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui 5x-2x^{2}-2, găsiți opusul fiecărui termen.

$$8x^{2}-8x+2-5x+2x^{2}+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Combinați -8x cu -5x pentru a obține -13x.

$$8x^{2}-13x+2+2x^{2}+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Combinați 8x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}-13x+2+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Adunați 2 și 2 pentru a obține 4.

$$10x^{2}-13x+4=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1-2x\right)^{2}.

$$10x^{2}-13x+4=6\left(1-4x+4x^{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6 cu 1-4x+4x^{2}.

$$10x^{2}-13x+4=6-24x+24x^{2}$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$10x^{2}-13x+4-6=-24x+24x^{2}$$

Scădeți 6 din 4 pentru a obține -2.

$$10x^{2}-13x-2=-24x+24x^{2}$$

Adăugați 24x la ambele părți.

$$10x^{2}-13x-2+24x=24x^{2}$$

Combinați -13x cu 24x pentru a obține 11x.

$$10x^{2}+11x-2=24x^{2}$$

Scădeți 24x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+11x-2-24x^{2}=0$$

Combinați 10x^{2} cu -24x^{2} pentru a obține -14x^{2}.

$$-14x^{2}+11x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -14, b cu 11 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\left(-2\right)}}{2\left(-14\right)}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\left(-2\right)}}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -14.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\left(-2\right)}}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți 56 cu -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-112}}{2\left(-14\right)}$$

Adunați 121 cu -112.

$$x=\frac{-11±\sqrt{9}}{2\left(-14\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-11±3}{2\left(-14\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -14.

$$x=\frac{-11±3}{-28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±3}{-28} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 3.

$$x=-\frac{8}{-28}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{-28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{2}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±3}{-28} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -11.

$$x=-\frac{14}{-28}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{-28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 14.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{7} x=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 3,6.

$$2\left(2x-1\right)^{2}-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-1\right)^{2}.

$$2\left(4x^{2}-4x+1\right)-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 4x^{2}-4x+1.

$$8x^{2}-8x+2-\left(x-2\right)\left(1-2x\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 1-2x și a combina termenii similari.

$$8x^{2}-8x+2-\left(5x-2x^{2}-2\right)=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui 5x-2x^{2}-2, găsiți opusul fiecărui termen.

$$8x^{2}-8x+2-5x+2x^{2}+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Combinați -8x cu -5x pentru a obține -13x.

$$8x^{2}-13x+2+2x^{2}+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Combinați 8x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}-13x+2+2=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Adunați 2 și 2 pentru a obține 4.

$$10x^{2}-13x+4=6\left(1-2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1-2x\right)^{2}.

$$10x^{2}-13x+4=6\left(1-4x+4x^{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6 cu 1-4x+4x^{2}.

$$10x^{2}-13x+4=6-24x+24x^{2}$$

Adăugați 24x la ambele părți.

$$10x^{2}-13x+4+24x=6+24x^{2}$$

Combinați -13x cu 24x pentru a obține 11x.

$$10x^{2}+11x+4=6+24x^{2}$$

Scădeți 24x^{2} din ambele părți.

$$10x^{2}+11x+4-24x^{2}=6$$

Combinați 10x^{2} cu -24x^{2} pentru a obține -14x^{2}.

$$-14x^{2}+11x+4=6$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$-14x^{2}+11x=6-4$$

Scădeți 4 din 6 pentru a obține 2.

$$-14x^{2}+11x=2$$

Se împart ambele părți la -14.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=\frac{2}{-14}$$

Împărțirea la -14 anulează înmulțirea cu -14.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=\frac{2}{-14}$$

Împărțiți 11 la -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{2}{-14}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{1}{7}$$

Împărțiți -\frac{11}{14}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{28}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{28} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{28} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=-\frac{1}{7}+\frac{121}{784}$$

Adunați -\frac{1}{7} cu \frac{121}{784} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{9}{784}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{9}{784}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{784}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{3}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{3}{28}$$

Adunați \frac{11}{28} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{2}{7}$$