Rezolvați (2a-5)^2/2-(a-3)^2+1/2geqa^2

$$\frac { ( 2 a - 5 ) ^ { 2 } } { 2 } - ( a - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq a ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru a

$$a\leq 1$$

Pașii soluției

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2. Deoarece 2 este pozitiv, direcția inegalitatea rămâne aceeași.

$$2\left(\frac{\left(2a-5\right)^{2}}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2a-5\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(a-3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a^{2}-6a+9\right)\right)+1\geq 2a^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui a^{2}-6a+9, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9.

$$2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Exprimați 2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2} ca fracție unică.

$$\frac{2\left(4a^{2}-20a+25\right)}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Reduceți prin eliminare 2 și 2.

$$4a^{2}-20a+25-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Combinați 4a^{2} cu -2a^{2} pentru a obține 2a^{2}.

$$2a^{2}-20a+25+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Combinați -20a cu 12a pentru a obține -8a.

$$2a^{2}-8a+25-18+1\geq 2a^{2}$$

Scădeți 18 din 25 pentru a obține 7.

$$2a^{2}-8a+7+1\geq 2a^{2}$$

Adunați 7 și 1 pentru a obține 8.

$$2a^{2}-8a+8\geq 2a^{2}$$

Scădeți 2a^{2} din ambele părți.

$$2a^{2}-8a+8-2a^{2}\geq 0$$

Combinați 2a^{2} cu -2a^{2} pentru a obține 0.

$$-8a+8\geq 0$$

Scădeți 8 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-8a\geq -8$$

Se împart ambele părți la -8. Deoarece -8 este negativ, direcția inegalitatea este modificată.

$$a\leq \frac{-8}{-8}$$

Împărțiți -8 la -8 pentru a obține 1.

$$a\leq 1$$