Rezolvați frac{sqrt{7}+sqrt{5}}{sqrt{7}-sqrt{5}}+frac{sqrt{7}-sqrt{5}}{sqrt{7}+sqrt{5}}=

$$\frac { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } + \frac { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } =$$

Evaluați

$$12$$

Pașii soluției

Raționalizați numitorul \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{7}+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Să luăm \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Ridicați \sqrt{7} la pătrat. Ridicați \sqrt{5} la pătrat.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Scădeți 5 din 7 pentru a obține 2.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Înmulțiți \sqrt{7}+\sqrt{5} cu \sqrt{7}+\sqrt{5} pentru a obține \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Pătratul lui \sqrt{7} este 7.

$$\frac{7+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Pentru a înmulți \sqrt{7} și a \sqrt{5}, înmulțiți numerele sub rădăcina pătrată.

$$\frac{7+2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{7+2\sqrt{35}+5}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Adunați 7 și 5 pentru a obține 12.

$$\frac{12+2\sqrt{35}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Împărțiți fiecare termen din 12+2\sqrt{35} la 2 pentru a obține 6+\sqrt{35}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Raționalizați numitorul \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{7}-\sqrt{5}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}$$

Să luăm \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Ridicați \sqrt{7} la pătrat. Ridicați \sqrt{5} la pătrat.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{7-5}$$

Scădeți 5 din 7 pentru a obține 2.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{2}$$

Înmulțiți \sqrt{7}-\sqrt{5} cu \sqrt{7}-\sqrt{5} pentru a obține \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Pătratul lui \sqrt{7} este 7.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Pentru a înmulți \sqrt{7} și a \sqrt{5}, înmulțiți numerele sub rădăcina pătrată.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+5}{2}$$

Adunați 7 și 5 pentru a obține 12.

$$6+\sqrt{35}+\frac{12-2\sqrt{35}}{2}$$

Împărțiți fiecare termen din 12-2\sqrt{35} la 2 pentru a obține 6-\sqrt{35}.

$$6+\sqrt{35}+6-\sqrt{35}$$

Adunați 6 și 6 pentru a obține 12.

$$12+\sqrt{35}-\sqrt{35}$$

Combinați \sqrt{35} cu -\sqrt{35} pentru a obține 0.

$$12$$

Descompunere în factori

$$2^{2}\times 3$$