Rezolvați frac{sqrt{5}}{7-sqrt{20}}

$$\frac { \sqrt { 5 } } { 7 - \sqrt { 20 } }$$

Evaluați

$$\frac{7\sqrt{5}+10}{29}\approx 0,884568132$$

Pașii soluției

Descompuneți în factori 20=2^{2}\times 5. Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{2^{2}\times 5} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{5}. Aflați rădăcina pătrată pentru 2^{2}.

$$\frac{\sqrt{5}}{7-2\sqrt{5}}$$

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{5}}{7-2\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 7+2\sqrt{5}.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{\left(7-2\sqrt{5}\right)\left(7+2\sqrt{5}\right)}$$

Să luăm \left(7-2\sqrt{5}\right)\left(7+2\sqrt{5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{7^{2}-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Calculați 7 la puterea 2 și obțineți 49.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Extindeți \left(-2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Calculați -2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-4\times 5}$$

Înmulțiți 4 cu 5 pentru a obține 20.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-20}$$

Scădeți 20 din 49 pentru a obține 29.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{29}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \sqrt{5} cu 7+2\sqrt{5}.

$$\frac{7\sqrt{5}+2\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{29}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{7\sqrt{5}+2\times 5}{29}$$

Înmulțiți 2 cu 5 pentru a obține 10.

$$\frac{7\sqrt{5}+10}{29}$$