Rezolvați frac{sqrt{3}-sqrt{7}}{sqrt{3}+sqrt{7}}

$$\frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 7 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 7 } }$$

Evaluați

$$\frac{\sqrt{21}-5}{2}\approx -0,208712153$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}-\sqrt{7}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}$$

Să luăm \left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

Ridicați \sqrt{3} la pătrat. Ridicați \sqrt{7} la pătrat.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{3-7}$$

Scădeți 7 din 3 pentru a obține -4.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{-4}$$

Înmulțiți \sqrt{3}-\sqrt{7} cu \sqrt{3}-\sqrt{7} pentru a obține \left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

Pentru a înmulțiți \sqrt{3} și \sqrt{7}, înmulțiți numerele de sub rădăcina pătrată.

$$\frac{3-2\sqrt{21}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{-4}$$

Pătratul lui \sqrt{7} este 7.

$$\frac{3-2\sqrt{21}+7}{-4}$$

Adunați 3 și 7 pentru a obține 10.

$$\frac{10-2\sqrt{21}}{-4}$$