Rezolvați cos60^circ/1+sin60^circ+1/tan30^circ

$$\frac { \cos 60 ^ { \circ } } { 1 + \sin 60 ^ { \circ } } + \frac { 1 } { \tan 30 ^ { \circ } }$$

Evaluați

$$2$$

Pașii soluției scurte

Obțineți valoarea \cos(60) din tabelul de valori trigonometrice.

$$\frac{\frac{1}{2}}{1+\sin(60)}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Obțineți valoarea \sin(60) din tabelul de valori trigonometrice.

$$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți 1 cu \frac{2}{2}.

$$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Deoarece \frac{2}{2} și \frac{\sqrt{3}}{2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Împărțiți \frac{1}{2} la \frac{2+\sqrt{3}}{2} înmulțind pe \frac{1}{2} cu reciproca lui \frac{2+\sqrt{3}}{2}.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Obțineți valoarea \tan(30) din tabelul de valori trigonometrice.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Împărțiți 1 la \frac{\sqrt{3}}{3} înmulțind pe 1 cu reciproca lui \frac{\sqrt{3}}{3}.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{3}{\sqrt{3}}$$

Raționalizați numitor de \frac{3}{\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{3}.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{3\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{3\sqrt{3}}{3}$$

Reduceți prin eliminare 3 și 3.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\sqrt{3}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Înmulțiți \sqrt{3} cu \frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{\sqrt{3}\times 2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Deoarece \frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)} și \frac{\sqrt{3}\times 2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\left(2+\sqrt{3}\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{2+\sqrt{3}\times 2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Faceți înmulțiri în 2+\sqrt{3}\times 2\left(2+\sqrt{3}\right).

$$\frac{2+4\sqrt{3}+6}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Faceți calcule în 2+4\sqrt{3}+6.

$$\frac{8+4\sqrt{3}}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Extindeți 2\left(2+\sqrt{3}\right).

$$\frac{8+4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+4}$$

Raționalizați numitor de \frac{8+4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+4} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2\sqrt{3}-4.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{\left(2\sqrt{3}+4\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}$$

Să luăm \left(2\sqrt{3}+4\right)\left(2\sqrt{3}-4\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-4^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-4^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{4\left(\sqrt{3}\right)^{2}-4^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{4\times 3-4^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 3 pentru a obține 12.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{12-4^{2}}$$

Calculați 4 la puterea 2 și obțineți 16.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{12-16}$$

Scădeți 16 din 12 pentru a obține -4.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{-4}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8+4\sqrt{3} cu 2\sqrt{3}-4 și a combina termenii similari.

$$\frac{-32+8\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-4}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{-32+8\times 3}{-4}$$

Înmulțiți 8 cu 3 pentru a obține 24.

$$\frac{-32+24}{-4}$$

Adunați -32 și 24 pentru a obține -8.

$$\frac{-8}{-4}$$

Împărțiți -8 la -4 pentru a obține 2.

$$2$$