Rezolvați [1+1/sqrt{2}+1/2][1-1/sqrt{2}+1/2]

$$[ 1 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ] [ 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ]$$

Evaluați

$$\frac{7}{4}=1,75$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{1}{\sqrt{2}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{2}.

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Efectuați conversia 1 la fracția \frac{2}{2}.

$$\left(\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Deoarece \frac{2}{2} și \frac{1}{2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\left(\frac{2+1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Adunați 2 și 1 pentru a obține 3.

$$\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Deoarece \frac{3}{2} și \frac{\sqrt{2}}{2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Raționalizați numitor de \frac{1}{\sqrt{2}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către \sqrt{2}.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

Efectuați conversia 1 la fracția \frac{2}{2}.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

Deoarece \frac{2}{2} și \frac{1}{2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2+1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Adunați 2 și 1 pentru a obține 3.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Deoarece \frac{3}{2} și \frac{\sqrt{2}}{2} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\times \frac{3+\sqrt{2}}{2}$$

Înmulțiți \frac{3+\sqrt{2}}{2} cu \frac{3+\sqrt{2}}{2} pentru a obține \left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$

Pentru a ridica \frac{3+\sqrt{2}}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{2^{2}}$$

Adunați 9 și 2 pentru a obține 11.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{2^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{4}$$

Descompunere în factori

$$\frac{7}{2 ^ {2}} = 1\frac{3}{4} = 1,75$$