Rezolvați [2/3(x-3)]^2=16*7-x/2

$$[ \frac { 2 } { 3 } ( x - 3 ) ] ^ { 2 } = 16 \times \frac { 7 - x } { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=3\sqrt{17}-6\approx 6,369316877$$

$$x=-3\sqrt{17}-6\approx -18,369316877$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \frac{2}{3} cu x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16 cu 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Scădeți 112 din ambele părți.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8-112=-16x$$

Scădeți 112 din 8 pentru a obține -104.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104=-16x$$

Adăugați 16x la ambele părți.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104+16x=0$$

Combinați -\frac{16}{3}x cu 16x pentru a obține \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x-104=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu \frac{8}{9}, b cu \frac{32}{3} și c cu -104 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\left(\frac{32}{3}\right)^{2}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Ridicați \frac{32}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-\frac{32}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Înmulțiți -\frac{32}{9} cu -104.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024+3328}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Adunați \frac{1024}{9} cu \frac{3328}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{4352}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru \frac{4352}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Înmulțiți 2 cu \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}} atunci când ± este plus. Adunați -\frac{32}{3} cu \frac{16\sqrt{17}}{3}.

$$x=\frac{16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Împărțiți \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} la \frac{16}{9} înmulțind pe \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} cu reciproca lui \frac{16}{9}.

$$x=3\sqrt{17}-6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{16\sqrt{17}}{3} din -\frac{32}{3}.

$$x=\frac{-16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Împărțiți \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} la \frac{16}{9} înmulțind pe \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} cu reciproca lui \frac{16}{9}.

$$x=-3\sqrt{17}-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți \frac{2}{3} cu x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 16 cu 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Adăugați 16x la ambele părți.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8+16x=112$$

Combinați -\frac{16}{3}x cu 16x pentru a obține \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x+8=112$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=112-8$$

Scădeți 8 din 112 pentru a obține 104.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=104$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{8}{9}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$\frac{\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x}{\frac{8}{9}}=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Împărțirea la \frac{8}{9} anulează înmulțirea cu \frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{9}}x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Împărțiți \frac{32}{3} la \frac{8}{9} înmulțind pe \frac{32}{3} cu reciproca lui \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Împărțiți 104 la \frac{8}{9} înmulțind pe 104 cu reciproca lui \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=117$$

Împărțiți 12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 6. Apoi, adunați pătratul lui 6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+12x+6^{2}=117+6^{2}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x^{2}+12x+36=117+36$$

Adunați 117 cu 36.

$$x^{2}+12x+36=153$$

Factor x^{2}+12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=153$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{153}$$

Simplificați.

$$x+6=3\sqrt{17} x+6=-3\sqrt{17}$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$