Rezolvați =x^4-x^3-7x^2+x+6

$$= x ^ { 4 } - x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + x + 6$$

Descompunere în factori

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{4}-x^{3}-7x^{2}+x+6=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 6 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±6,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-x^{3}-7x^{2}+x+6 la x-1 pentru a obține x^{3}-7x-6. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{3}-7x-6=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -6 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±6,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-7x-6 la x+1 pentru a obține x^{2}-x-6. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$x^{2}-x-6=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-6\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{1±5}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-x-6=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-2 x=3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Evaluați

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}-1\right)$$