Rezolvați =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Descompunere în factori

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Pașii soluției

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -9 și q împarte coeficientul inițial 20. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=\frac{1}{2}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 20x^{4}+31x^{2}-9 la 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 pentru a obține 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 9 și q împarte coeficientul inițial 10. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 la 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 pentru a obține 5x^{2}+9. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 5, b cu 0 și c cu 9.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Polinomul 5x^{2}+9 nu este descompus în factori, pentru că nu are rădăcini raționale.

$$5x^{2}+9$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Evaluați

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$