Rezolvați =(3x-5)^2+32=0

$$= ( 3 x - 5 ) ^ { 2 } + 32 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}\approx 1,666666667-1,885618083i$$

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3}\approx 1,666666667+1,885618083i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x-5\right)^{2}.

$$9x^{2}-30x+25+32=0$$

Adunați 25 și 32 pentru a obține 57.

$$9x^{2}-30x+57=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -30 și c cu 57 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 57}}{2\times 9}$$

Ridicați -30 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 57}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 57}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 57.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-2052}}{2\times 9}$$

Adunați 900 cu -2052.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-1152}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -1152.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±24\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Opusul lui -30 este 30.

$$x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18} atunci când ± este plus. Adunați 30 cu 24i\sqrt{2}.

$$x=\frac{30+24\sqrt{2}i}{18}$$

Împărțiți 30+24i\sqrt{2} la 18.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{30±24\sqrt{2}i}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 24i\sqrt{2} din 30.

$$x=\frac{-24\sqrt{2}i+30}{18}$$

Împărțiți 30-24i\sqrt{2} la 18.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x-5\right)^{2}.

$$9x^{2}-30x+25+32=0$$

Adunați 25 și 32 pentru a obține 57.

$$9x^{2}-30x+57=0$$

Scădeți 57 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$9x^{2}-30x=-57$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{57}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{57}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{57}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-57}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{19}{3}$$

Împărțiți -\frac{10}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{19}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{19}{3}+\frac{25}{9}$$

Adunați -\frac{19}{3} cu \frac{25}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{32}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{32}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{4\sqrt{2}i}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{4\sqrt{2}i}{3}$$

Adunați \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+4\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-4\sqrt{2}i+5}{3}$$