Resolver {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia 5y de ambos os lados.

$$x-5y=5$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x-5y=5$$

Some 5y a ambos os lados da equação.

$$x=5y+5$$

Substitua 5+5y por x na outra equação, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Multiplique 6 vezes 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Some 30y com -4y.

$$26y+30=7$$

Subtraia 30 de ambos os lados da equação.

$$26y=-23$$

Divida ambos os lados por 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substitua -\frac{23}{26} por y em x=5y+5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Multiplique 5 vezes -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Some 5 com -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia 5y de ambos os lados.

$$x-5y=5$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia 5y de ambos os lados.

$$x-5y=5$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Para tornar x e 6x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 6 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Simplifique.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Subtraia 6x-4y=7 de 6x-30y=30 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Some 6x com -6x. Os termos 6x e -6x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-30y+4y=30-7$$

Some -30y com 4y.

$$-26y=30-7$$

Some 30 com -7.

$$-26y=23$$

Divida ambos os lados por -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substitua -\frac{23}{26} por y em 6x-4y=7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Multiplique -4 vezes -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Subtraia \frac{46}{13} de ambos os lados da equação.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Divida ambos os lados por 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$