Resolver {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$8x+2y=46$$

Subtraia 2y de ambos os lados da equação.

$$8x=-2y+46$$

Divida ambos os lados por 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Multiplique \frac{1}{8} vezes -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Substitua \frac{-y+23}{4} por x na outra equação, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Multiplique 7 vezes \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Some -\frac{7y}{4} com 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Subtraia \frac{161}{4} de ambos os lados da equação.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{5}{4}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=\frac{27}{5}$$

Substitua \frac{27}{5} por y em x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Multiplique -\frac{1}{4} vezes \frac{27}{5} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Some \frac{23}{4} com -\frac{27}{20} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{22}{5}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Para tornar 8x e 7x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 7 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Simplifique.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Subtraia 56x+24y=376 de 56x+14y=322 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Some 56x com -56x. Os termos 56x e -56x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$14y-24y=322-376$$

Some 14y com -24y.

$$-10y=322-376$$

Some 322 com -376.

$$-10y=-54$$

Divida ambos os lados por -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Substitua \frac{27}{5} por y em 7x+3y=47. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Multiplique 3 vezes \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Subtraia \frac{81}{5} de ambos os lados da equação.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Divida ambos os lados por 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$