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$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right. $
Resolva para x, y
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8x+2y=46,7x+3y=47
Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.
8x+2y=46
Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.
8x=-2y+46
Subtraia 2y de ambos os lados da equação.
x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)
Divida ambos os lados por 8.
x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}
Multiplique \frac{1}{8} vezes -2y+46.
7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47
Substitua \frac{-y+23}{4} por x na outra equação, 7x+3y=47.
-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47
Multiplique 7 vezes \frac{-y+23}{4}.
\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47
Some -\frac{7y}{4} com 3y.
\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}
Subtraia \frac{161}{4} de ambos os lados da equação.
y=\frac{27}{5}
Divida ambos os lados da equação por \frac{5}{4}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.
x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}
Substitua \frac{27}{5} por y em x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.
x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}
Multiplique -\frac{1}{4} vezes \frac{27}{5} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.
x=\frac{22}{5}
Some \frac{23}{4} com -\frac{27}{20} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
O sistema está resolvido.
8x+2y=46,7x+3y=47
Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.
\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Escreva as equações sob forma de matriz.
inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Efetue o cálculo aritmético.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)
Multiplique as matrizes.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)
Efetue o cálculo aritmético.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Extraia os elementos x e y da matriz.
8x+2y=46,7x+3y=47
Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.
7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47
Para tornar 8x e 7x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 7 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 8.
56x+14y=322,56x+24y=376
Simplifique.
56x-56x+14y-24y=322-376
Subtraia 56x+24y=376 de 56x+14y=322 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.
14y-24y=322-376
Some 56x com -56x. Os termos 56x e -56x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.
-10y=322-376
Some 14y com -24y.
-10y=-54
Some 322 com -376.
y=\frac{27}{5}
Divida ambos os lados por -10.
7x+3\times \frac{27}{5}=47
Substitua \frac{27}{5} por y em 7x+3y=47. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.
7x+\frac{81}{5}=47
Multiplique 3 vezes \frac{27}{5}.
7x=\frac{154}{5}
Subtraia \frac{81}{5} de ambos os lados da equação.
x=\frac{22}{5}
Divida ambos os lados por 7.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
O sistema está resolvido.