Selesaikan {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$x-5y=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-5y=5$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5y+5$$

Gantikan 5+5y dengan x dalam persamaan lain, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Darabkan 6 kali 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Tambahkan 30y pada -4y.

$$26y+30=7$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$26y=-23$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Gantikan -\frac{23}{26} dengan y dalam x=5y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Darabkan 5 kali -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$x-5y=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$x-5y=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Untuk menjadikan x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Permudahkan.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Tolak 6x-4y=7 daripada 6x-30y=30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-30y+4y=30-7$$

Tambahkan -30y pada 4y.

$$-26y=30-7$$

Tambahkan 30 pada -7.

$$-26y=23$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Gantikan -\frac{23}{26} dengan y dalam 6x-4y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Darabkan -4 kali -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Tolak \frac{46}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$