y^2-42y+216=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

y を解く

$$y=6$$

$$y=36$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) を使用して y^{2}-42y+216 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-42 ab=216$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 216 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

解は和が -42 になる組み合わせです。

$$a=-36 b=-6$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(y+a\right)\left(y+b\right) を書き換えます。

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

方程式の解を求めるには、y-36=0 と y-6=0 を解きます。

$$y=36 y=6$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を y^{2}+ay+by+216 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 216 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

解は和が -42 になる組み合わせです。

$$a=-36 b=-6$$

y^{2}-42y+216 を \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right) に書き換えます。

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

1 番目のグループの y と 2 番目のグループの -6 をくくり出します。

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

分配特性を使用して一般項 y-36 を除外します。

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

方程式の解を求めるには、y-36=0 と y-6=0 を解きます。

$$y=36 y=6$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$y^{2}-42y+216=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -42 を代入し、c に 216 を代入します。

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

-42 を 2 乗します。

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

-4 と 216 を乗算します。

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

1764 を -864 に加算します。

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

900 の平方根をとります。

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

-42 の反数は 42 です。

$$y=\frac{42±30}{2}$$

± が正の時の方程式 y=\frac{42±30}{2} の解を求めます。 42 を 30 に加算します。

$$y=\frac{72}{2}$$

72 を 2 で除算します。

$$y=36$$

± が負の時の方程式 y=\frac{42±30}{2} の解を求めます。 42 から 30 を減算します。

$$y=\frac{12}{2}$$

12 を 2 で除算します。

$$y=6$$

方程式が解けました。

$$y=36 y=6$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$y^{2}-42y+216=0$$

方程式の両辺から 216 を減算します。

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

それ自体から 216 を減算すると 0 のままです。

$$y^{2}-42y=-216$$

-42 (x 項の係数) を 2 で除算して -21 を求めます。次に、方程式の両辺に -21 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

-21 を 2 乗します。

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

-216 を 441 に加算します。

$$y^{2}-42y+441=225$$

因数y^{2}-42y+441。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

簡約化します。

$$y-21=15 y-21=-15$$

方程式の両辺に 21 を加算します。

$$y=36 y=6$$